19. (本题8分)某校为了让学生在课间有足够的活动空间,常设法充分利用走廊、平台、小广场、转角等"金角银边".该校有一块长为21m、宽为10m的矩形小广场,计划在其中打造两块相同的运动区域,两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道,且人行通道的宽度不超过3m.
(1) 如果两块运动区域的面积之和为$90m^2,$求人行通道的宽度.
(2) 能否改变人行通道的宽度,使得每块运动区域的宽与长之比等于3:5?请说明理由.
(1) 如果两块运动区域的面积之和为$90m^2,$求人行通道的宽度.
(2) 能否改变人行通道的宽度,使得每块运动区域的宽与长之比等于3:5?请说明理由.
答案：1. （1）
设人行通道的宽度为$x$米。
已知矩形小广场长为$21$米、宽为$10$米，那么两块运动区域拼在一起，长为$(21 - 3x)$米，宽为$(10 - 2x)$米。
根据两块运动区域的面积之和为$90m^{2}$，可列方程$(21 - 3x)(10 - 2x)=90$。
展开括号得：$210-42x - 30x+6x^{2}=90$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$6x^{2}-72x + 120 = 0$，两边同时除以$6$得$x^{2}-12x + 20 = 0$。
分解因式：$(x - 10)(x - 2)=0$。
则$x - 10 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=2$。
因为人行通道的宽度不超过$3$米，而$x = 10$不符合题意，舍去。
所以人行通道的宽度为$2$米。
2. （2）
设人行通道的宽度为$y$米。
若每块运动区域的宽与长之比等于$3:5$，则$\frac{10 - 2y}{21 - 3y}=\frac{3}{5}$。
交叉相乘得：$5(10 - 2y)=3(21 - 3y)$。
展开括号：$50-10y = 63 - 9y$。
移项：$-10y + 9y=63 - 50$。
解得$y=-13$。
因为$y=-13$不符合实际意义（宽度不能为负），所以不能改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于$3:5$。
综上，（1）人行通道的宽度为$2$米；（2）不能，理由如上述步骤。
设人行通道的宽度为$x$米。
已知矩形小广场长为$21$米、宽为$10$米，那么两块运动区域拼在一起，长为$(21 - 3x)$米，宽为$(10 - 2x)$米。
根据两块运动区域的面积之和为$90m^{2}$，可列方程$(21 - 3x)(10 - 2x)=90$。
展开括号得：$210-42x - 30x+6x^{2}=90$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$6x^{2}-72x + 120 = 0$，两边同时除以$6$得$x^{2}-12x + 20 = 0$。
分解因式：$(x - 10)(x - 2)=0$。
则$x - 10 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=2$。
因为人行通道的宽度不超过$3$米，而$x = 10$不符合题意，舍去。
所以人行通道的宽度为$2$米。
2. （2）
设人行通道的宽度为$y$米。
若每块运动区域的宽与长之比等于$3:5$，则$\frac{10 - 2y}{21 - 3y}=\frac{3}{5}$。
交叉相乘得：$5(10 - 2y)=3(21 - 3y)$。
展开括号：$50-10y = 63 - 9y$。
移项：$-10y + 9y=63 - 50$。
解得$y=-13$。
因为$y=-13$不符合实际意义（宽度不能为负），所以不能改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于$3:5$。
综上，（1）人行通道的宽度为$2$米；（2）不能，理由如上述步骤。
20. (本题8分)如图,矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E、F都在直线l上,且AB= 7,EF= 10,BC＞5.点B以1个单位长度每秒的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为ts.
(1) 求当t= 2.5时半圆O在矩形ABCD内的弧的长度.
(2) 在点B运动的过程中,当AD、BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G、H.连接OG、OH.若∠GOH为直角,求此时t的值.
(1) 求当t= 2.5时半圆O在矩形ABCD内的弧的长度.
(2) 在点B运动的过程中,当AD、BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G、H.连接OG、OH.若∠GOH为直角,求此时t的值.
答案：
解：(1)设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，∴$OE=\frac {1}{2}EF=5，$
∴OB=2.5，∴EB=OB，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴ME=MO，
又∵MO=EO，∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM=60°，
∴$l_{ME}=\frac {60π×5}{180}=\frac {5π}{3}.$
∴半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为$\frac {5π}{3}.$
(2)连接GO，HO，∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AGO+∠AOG=90°，∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
$\begin{cases}∠AGO=∠BOH\\∠GAO=∠HBO\\OG=OH\end{cases}$
∴$△AGO≌△BOH(\mathrm {AAS})，$
∴OB=AG=t-5，∵AB=7，∴AE=t-7，
∴AO=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，$AG^2+AO^2=OG^2，$
∴$(t-5)^2+(12-t)^2=5^2，$
解得：$t_1=8，$$t_2=9，$即t的值为8或9．
解：(1)设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，∴$OE=\frac {1}{2}EF=5，$
∴OB=2.5，∴EB=OB，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴ME=MO，
又∵MO=EO，∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM=60°，
∴$l_{ME}=\frac {60π×5}{180}=\frac {5π}{3}.$
∴半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为$\frac {5π}{3}.$
(2)连接GO，HO，∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AGO+∠AOG=90°，∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
$\begin{cases}∠AGO=∠BOH\\∠GAO=∠HBO\\OG=OH\end{cases}$
∴$△AGO≌△BOH(\mathrm {AAS})，$
∴OB=AG=t-5，∵AB=7，∴AE=t-7，
∴AO=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，$AG^2+AO^2=OG^2，$
∴$(t-5)^2+(12-t)^2=5^2，$
解得：$t_1=8，$$t_2=9，$即t的值为8或9．