例2 用适当的方法解下列方程：
(1) $y^{2}-2y-99= 0$；
(2) $6x^{2}-7x-3= 0$；
(3) $(2x+3)^{2}-3(2x+3)= 4$；
(4) $(x-2)^{2}-2(x^{2}-4)= 0$.
(1) $y^{2}-2y-99= 0$；
(2) $6x^{2}-7x-3= 0$；
(3) $(2x+3)^{2}-3(2x+3)= 4$；
(4) $(x-2)^{2}-2(x^{2}-4)= 0$.
答案：$(1)$解：$y^2-2y+1=100$
$ (y-1)^2=100 $
$ y-1=±10$
$ y_1=11，$$y_2=-9$
$(2)$解：$(3x+1)(2x-3)=0$
$ 3x+1=0$或$2x-3=0$
$ x_1=-\frac 13，$$x_2=\frac 32$
$(3)$解：$(2x+3-4)(2x+3+1)=0$
$ (2x-1)(2x+4)=0$
$ 2x-1=0$或$2x+4=0$
$ x_1=\frac 12，$$x_2=-2$
$(4)$解：$(x-2)(x-2-2x-4)=0$
$ (x-2)(-x-6)=0$
$ x-2=0$或$-x-6=0$
$ x_1=2，$$x_2=-6$
$ (y-1)^2=100 $
$ y-1=±10$
$ y_1=11，$$y_2=-9$
$(2)$解：$(3x+1)(2x-3)=0$
$ 3x+1=0$或$2x-3=0$
$ x_1=-\frac 13，$$x_2=\frac 32$
$(3)$解：$(2x+3-4)(2x+3+1)=0$
$ (2x-1)(2x+4)=0$
$ 2x-1=0$或$2x+4=0$
$ x_1=\frac 12，$$x_2=-2$
$(4)$解：$(x-2)(x-2-2x-4)=0$
$ (x-2)(-x-6)=0$
$ x-2=0$或$-x-6=0$
$ x_1=2，$$x_2=-6$
1. 方程$(x+2)(x-1)= 0$的根为
$x_1=-2，x_2=1$
.答案：$x_1=-2，$$x_2=1$
2. 方程$(x-3)(x+1)= x-3$的根为
$x_1=3，x_2=0$
.答案：$x_1=3，$$x_2=0$
解析：
$(x-3)(x+1)=x-3$
$(x-3)(x+1)-(x-3)=0$
$(x-3)(x+1-1)=0$
$(x-3)x=0$
$x-3=0$或$x=0$
$x_{1}=3$，$x_{2}=0$
$x_{1}=3$,$x_{2}=0$
$(x-3)(x+1)-(x-3)=0$
$(x-3)(x+1-1)=0$
$(x-3)x=0$
$x-3=0$或$x=0$
$x_{1}=3$，$x_{2}=0$
$x_{1}=3$,$x_{2}=0$
3. 已知m是关于x的一元二次方程$mx^{2}-2x+m= 0$的一个根,则m的值是
1或-1
.答案：1或-1
解析：
∵m是方程$mx^{2}-2x+m=0$的根，
∴将$x=m$代入方程得：$m\cdot m^{2}-2\cdot m + m = 0$，
即$m^{3}-m = 0$，
$m(m^{2}-1)=0$，
$m(m - 1)(m + 1)=0$，
解得$m=0$或$m=1$或$m=-1$。
∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数$m\neq0$，
∴$m=1$或$m=-1$。
1或-1
4. 若$(a+b)(a+b+2)= 8$,则$a+b= $
-4或2
.答案：-4或2
解析：
设$x = a + b$，则原方程可化为$x(x + 2) = 8$，即$x^2 + 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x + 4)(x - 2) = 0$，解得$x = -4$或$x = 2$，所以$a + b = -4$或$2$。
5. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+2(a+1)x+2a+1= 0$有一个小于1的正数根,则a的取值范围是
$−1＜a＜－\frac {1}{2}$
.答案：$−1＜a＜－\frac {1}{2}$
解析：
设方程$x^{2}+2(a+1)x+2a+1=0$的两根为$x_1$、$x_2$，其中$0 ＜ x_1 ＜ 1$，$x_2$为另一根。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = -2(a + 1)$，$x_1 x_2 = 2a + 1$。
令$f(x) = x^{2}+2(a+1)x+2a+1$，因为方程有一个小于1的正数根，所以：
1. $f(0)f(1) ＜ 0$：
$f(0) = 2a + 1$，$f(1) = 1 + 2(a + 1) + 2a + 1 = 4a + 4$，
则$(2a + 1)(4a + 4) ＜ 0$，即$(2a + 1)(a + 1) ＜ 0$，
解得$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$。
2. 判别式$\Delta = [2(a + 1)]^2 - 4(2a + 1) = 4a^2 + 8a + 4 - 8a - 4 = 4a^2 \geq 0$，恒成立。
综上，$a$的取值范围是$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$。
$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = -2(a + 1)$，$x_1 x_2 = 2a + 1$。
令$f(x) = x^{2}+2(a+1)x+2a+1$，因为方程有一个小于1的正数根，所以：
1. $f(0)f(1) ＜ 0$：
$f(0) = 2a + 1$，$f(1) = 1 + 2(a + 1) + 2a + 1 = 4a + 4$，
则$(2a + 1)(4a + 4) ＜ 0$，即$(2a + 1)(a + 1) ＜ 0$，
解得$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$。
2. 判别式$\Delta = [2(a + 1)]^2 - 4(2a + 1) = 4a^2 + 8a + 4 - 8a - 4 = 4a^2 \geq 0$，恒成立。
综上，$a$的取值范围是$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$。
$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
6. 用因式分解法解下列方程：
(1) $3x^{2}+4x= 0$；
(2) $(y+1)(y-1)= 1-y$；
(3) $4x^{2}-100= 0$；
(4) $y^{2}+y+\frac{1}{4}= 0$；
(5) $(3-t)^{2}+t^{2}= 9$；
(6) $4(x+1)^{2}-12(x+1)+9= 0$.
(1) $3x^{2}+4x= 0$；
(2) $(y+1)(y-1)= 1-y$；
(3) $4x^{2}-100= 0$；
(4) $y^{2}+y+\frac{1}{4}= 0$；
(5) $(3-t)^{2}+t^{2}= 9$；
(6) $4(x+1)^{2}-12(x+1)+9= 0$.
答案：解：x(3x+4)=0
x=0或3x+4=0
$ x_1=0，$$x_2= -\frac 43$
解：(y-1)(y+1+1)=0
y-1=0或y+1+1=0
$ y_1=1，$$y_2=-2$
解：(2x+10)(2x-10)=0
2x+10=0或2x-10=0
$ x_1=-5，$$x_2=5$
解：$(y+\frac 12)^2=0$
$ y_1=y_2=-\frac 12$
解：$9+t^2-6t+t^2-9=0$
$ 2t^2-6t=0$
t(2t-6)=0
t=0或2t-6=0
$ t_1=0，$$t_2=3$
解：$[2(x+1)-3]^2=0$
2(x+1)-3=0
$ x_1=x_2=\frac 12$
x=0或3x+4=0
$ x_1=0，$$x_2= -\frac 43$
解：(y-1)(y+1+1)=0
y-1=0或y+1+1=0
$ y_1=1，$$y_2=-2$
解：(2x+10)(2x-10)=0
2x+10=0或2x-10=0
$ x_1=-5，$$x_2=5$
解：$(y+\frac 12)^2=0$
$ y_1=y_2=-\frac 12$
解：$9+t^2-6t+t^2-9=0$
$ 2t^2-6t=0$
t(2t-6)=0
t=0或2t-6=0
$ t_1=0，$$t_2=3$
解：$[2(x+1)-3]^2=0$
2(x+1)-3=0
$ x_1=x_2=\frac 12$