1. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+5x-m= 0$的一个根是-6,则另一个根是(
A.-2
B.2
C.-1
D.1
D
)A.-2
B.2
C.-1
D.1
答案：D.
解析：
设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$，根据韦达定理，两根之和为$-\frac{5}{1} = -5$。
已知一个根是$-6$，则$-6 + x_1 = -5$，解得$x_1 = 1$。
D.
对于一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$，根据韦达定理，两根之和为$-\frac{5}{1} = -5$。
已知一个根是$-6$，则$-6 + x_1 = -5$，解得$x_1 = 1$。
D.
2. 已知一元二次方程的两个根分别为2和-3,则这个一元二次方程是(
A.$x^{2}-6x-5= 0$
B.$x^{2}-2x-3= 0$
C.$x^{2}+x-6= 0$
D.$x^{2}-x-6= 0$
C
)A.$x^{2}-6x-5= 0$
B.$x^{2}-2x-3= 0$
C.$x^{2}+x-6= 0$
D.$x^{2}-x-6= 0$
答案：C
解析：
已知方程两根为$2$和$-3$，则两根之和为$2 + (-3)=-1$，两根之积为$2×(-3)=-6$。
一元二次方程可表示为$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2}=0$，代入得$x^{2}-(-1)x + (-6)=0$，即$x^{2}+x - 6=0$。
C.
一元二次方程可表示为$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2}=0$，代入得$x^{2}-(-1)x + (-6)=0$，即$x^{2}+x - 6=0$。
C.
3. 若关于x的方程$x^{2}+mx+n= 0$的一个根为0,另一个根非0,则m、n的值为(
A.$m= 0$,$n= 0$
B.$m= 0$,$n≠0$
C.$m≠0$,$n= 0$
D.$mn≠0$
C
)A.$m= 0$,$n= 0$
B.$m= 0$,$n≠0$
C.$m≠0$,$n= 0$
D.$mn≠0$
答案：C
解析：
∵方程$x^{2}+mx+n=0$的一个根为0，
∴将$x=0$代入方程得：$0^{2}+m×0+n=0$，即$n=0$。
设方程的另一个根为$x_{1}(x_{1}\neq0)$，
由韦达定理得：$0+x_{1}=-m$，$0× x_{1}=n$。
∵$x_{1}\neq0$，
∴$-m\neq0$，即$m\neq0$。
综上，$m\neq0$，$n=0$。
C.
4. 若$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-2= 0$的两个实数根,则$x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}$的值为
-5
.答案：-5
解析：
对于一元二次方程$x^{2}-3x - 2=0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c=-2$。
由韦达定理可得：$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=3$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-2$。
则$x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})=-2 - 3=-5$。
$-5$
由韦达定理可得：$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=3$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-2$。
则$x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})=-2 - 3=-5$。
$-5$
5. 已知$x= 2+\sqrt{3}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+k= 0$的一个根,则方程的另一个根为
$2-\sqrt{3}$
,k的值为1
.答案：$2-\sqrt{3}$
1
1
解析：
设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 - 4x + k = 0$，根据韦达定理，两根之和为$4$，即$x + x_1 = 4$。
已知$x = 2 + \sqrt{3}$，则$x_1 = 4 - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$。
两根之积为$k$，即$k = x \cdot x_1 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。
$2 - \sqrt{3}$，$1$
对于一元二次方程$x^2 - 4x + k = 0$，根据韦达定理，两根之和为$4$，即$x + x_1 = 4$。
已知$x = 2 + \sqrt{3}$，则$x_1 = 4 - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$。
两根之积为$k$，即$k = x \cdot x_1 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。
$2 - \sqrt{3}$，$1$
6. 若关于x的方程$x^{2}+(k-2)x+k^{2}= 0$的两根互为倒数,则$k=$
-1
.答案：-1
解析：
设方程的两根为$x_1$，$x_2$。
由韦达定理得：$x_1x_2 = k^2$。
因为两根互为倒数，所以$x_1x_2 = 1$，即$k^2 = 1$，解得$k = 1$或$k = -1$。
当$k = 1$时，方程为$x^2 + (1 - 2)x + 1^2 = x^2 - x + 1 = 0$，判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，方程无实根，舍去。
当$k = -1$时，方程为$x^2 + (-1 - 2)x + (-1)^2 = x^2 - 3x + 1 = 0$，判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，方程有两个实根。
综上，$k = -1$。
$-1$
由韦达定理得：$x_1x_2 = k^2$。
因为两根互为倒数，所以$x_1x_2 = 1$，即$k^2 = 1$，解得$k = 1$或$k = -1$。
当$k = 1$时，方程为$x^2 + (1 - 2)x + 1^2 = x^2 - x + 1 = 0$，判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，方程无实根，舍去。
当$k = -1$时，方程为$x^2 + (-1 - 2)x + (-1)^2 = x^2 - 3x + 1 = 0$，判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，方程有两个实根。
综上，$k = -1$。
$-1$
7. 设a、b是方程$x^{2}+x-2020= 0$的两个实数根,则$a^{2}+2a+b$的值为
2019
.答案：2019
解析：
因为$a$是方程$x^{2}+x - 2020 = 0$的根，所以$a^{2}+a - 2020 = 0$，即$a^{2}+a = 2020$。
又因为$a$、$b$是方程$x^{2}+x - 2020 = 0$的两个实数根，根据韦达定理，$a + b=-\frac{1}{1}=-1$。
则$a^{2}+2a + b=(a^{2}+a)+(a + b)=2020+(-1)=2019$。
2019
又因为$a$、$b$是方程$x^{2}+x - 2020 = 0$的两个实数根，根据韦达定理，$a + b=-\frac{1}{1}=-1$。
则$a^{2}+2a + b=(a^{2}+a)+(a + b)=2020+(-1)=2019$。
2019
8. 若一元二次方程$x^{2}-4x+2= 0的两个实数根分别为x_{1}$、$x_{2}$,求下列各式的值:
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$; (2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$; (3)$(x_{1}-2)(x_{2}-2)$.
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$; (2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$; (3)$(x_{1}-2)(x_{2}-2)$.
答案：解：$x_1+x_2=4，$$x_1x_2=2$
$ (1)\frac 1{x_1}+\frac 1{x_2}=\frac {x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac 42=2$
$ (2)x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×2=12$
$ (3)(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=2-2×4+4=-2$
$ (1)\frac 1{x_1}+\frac 1{x_2}=\frac {x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac 42=2$
$ (2)x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×2=12$
$ (3)(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=2-2×4+4=-2$
9. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+k-3= 0的两个实数根分别为x_{1}$、$x_{2}$,且满足$x_{1}= 3x_{2}$,求方程的根及k的值.
答案：解：$x_1+x_2=4，$$x_1x_2=k-3$
由$\begin{cases}{ x_1+x_2=4 }\\{ x_1=3x_2 }\end{cases}$
解得$x_1=3，$$x_2=1$
∴k-3=3×1，得k=6
由$\begin{cases}{ x_1+x_2=4 }\\{ x_1=3x_2 }\end{cases}$
解得$x_1=3，$$x_2=1$
∴k-3=3×1，得k=6
解析：
解：由韦达定理得，$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=k-3$。
因为$x_{1}=3x_{2}$，所以$3x_{2}+x_{2}=4$，解得$x_{2}=1$，则$x_{1}=3×1=3$。
$x_{1}x_{2}=3×1=3=k-3$，解得$k=6$。
方程的根为$x_{1}=3$，$x_{2}=1$，$k=6$。
因为$x_{1}=3x_{2}$，所以$3x_{2}+x_{2}=4$，解得$x_{2}=1$，则$x_{1}=3×1=3$。
$x_{1}x_{2}=3×1=3=k-3$，解得$k=6$。
方程的根为$x_{1}=3$，$x_{2}=1$，$k=6$。