例1 不解方程,求下列方程两根的和与两根的积:
(1)$x^{2}-3x-1= 0$; (2)$2x^{2}+3x= 5$; (3)$\frac{1}{3}x^{2}-2x= 0$.
(1)$x^{2}-3x-1= 0$; (2)$2x^{2}+3x= 5$; (3)$\frac{1}{3}x^{2}-2x= 0$.
答案：解：$(1)x_1+x_2=3，$$x_1x_2=-1$
$ (2)2x^2+3x-5=0$
$ x_1+x_2=-\frac 32，$$x_1x_2=-\frac 52$
$ (3)x_1+x_2=6，$$x_1x_2=0$
$ (2)2x^2+3x-5=0$
$ x_1+x_2=-\frac 32，$$x_1x_2=-\frac 52$
$ (3)x_1+x_2=6，$$x_1x_2=0$
解析：
（1）对于方程$x^{2}-3x - 1=0$，$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-1$；
（2）方程$2x^{2}+3x = 5$化为一般式为$2x^{2}+3x - 5=0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{5}{2}$；
（3）对于方程$\frac{1}{3}x^{2}-2x = 0$，$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=0$。
（2）方程$2x^{2}+3x = 5$化为一般式为$2x^{2}+3x - 5=0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{5}{2}$；
（3）对于方程$\frac{1}{3}x^{2}-2x = 0$，$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=0$。
例2 方程$x^{2}+mx-1= 0的一个根是\sqrt{2}$,你会利用一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根和m的值吗?
答案：解：设另一根为$x_1，$则$\sqrt {2}+x_1=-m，$$\sqrt {2}x_1=-1$
得$x_1=-\frac {\sqrt {2}}2，$$m=-\frac {\sqrt {2}}2$
得$x_1=-\frac {\sqrt {2}}2，$$m=-\frac {\sqrt {2}}2$
解析：
设方程的另一个根为$x_1$。
由根与系数的关系得：
$\sqrt{2} + x_1 = -m$，$\sqrt{2} \cdot x_1 = -1$。
由$\sqrt{2} \cdot x_1 = -1$，解得$x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
将$x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$代入$\sqrt{2} + x_1 = -m$，得$\sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -m$，即$\frac{\sqrt{2}}{2} = -m$，解得$m = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
方程的另一个根是$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m$的值是$-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
由根与系数的关系得：
$\sqrt{2} + x_1 = -m$，$\sqrt{2} \cdot x_1 = -1$。
由$\sqrt{2} \cdot x_1 = -1$，解得$x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
将$x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$代入$\sqrt{2} + x_1 = -m$，得$\sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -m$，即$\frac{\sqrt{2}}{2} = -m$，解得$m = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
方程的另一个根是$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m$的值是$-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
例3 已知关于x的方程$x^{2}+2(m-2)x+m^{2}+4= 0$有两个实数根,且两根的平方和比两根的积大21.求m的值.
答案： 解：∵方程有两个实数根
∴$b^2-4ac=4(m-2)^2-4(\ \mathrm {m^2}+4)=-16m≥0$
∴m≤0
设方程两根分别为$x_1，$$x_2$
则$x_1+x_2=-2(m-2)，$$x_1x_2=\ \mathrm {m^2}+4$
$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m-2)^2-2(\ \mathrm {m^2}+4)=2\ \mathrm {m^2}-16m+8$
∴$2\ \mathrm {m^2}-16m+8-(\ \mathrm {m^2}+4)=21$
即$\ \mathrm {m^2}-16m-17=0$
解得$m_1=17，$$m_2=-1$
∵m≤0，
∴m=-1
∴$b^2-4ac=4(m-2)^2-4(\ \mathrm {m^2}+4)=-16m≥0$
∴m≤0
设方程两根分别为$x_1，$$x_2$
则$x_1+x_2=-2(m-2)，$$x_1x_2=\ \mathrm {m^2}+4$
$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m-2)^2-2(\ \mathrm {m^2}+4)=2\ \mathrm {m^2}-16m+8$
∴$2\ \mathrm {m^2}-16m+8-(\ \mathrm {m^2}+4)=21$
即$\ \mathrm {m^2}-16m-17=0$
解得$m_1=17，$$m_2=-1$
∵m≤0，
∴m=-1
解析：
解：设方程的两根为$x_1$，$x_2$。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = -2(m - 2)$，$x_1x_2 = m^2 + 4$。
已知$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 21$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 21$。
代入得：$[-2(m - 2)]^2 - 3(m^2 + 4) = 21$，
化简：$4(m^2 - 4m + 4) - 3m^2 - 12 = 21$，
$4m^2 - 16m + 16 - 3m^2 - 12 - 21 = 0$，
$m^2 - 16m - 17 = 0$，
解得$m_1 = 17$，$m_2 = -1$。
方程有两实根，$\Delta = [2(m - 2)]^2 - 4(m^2 + 4) \geq 0$，
$4(m^2 - 4m + 4) - 4m^2 - 16 \geq 0$，
$-16m \geq 0$，$m \leq 0$。
$\because 17 ＞ 0$（舍去），$-1 \leq 0$，
$\therefore m = -1$。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = -2(m - 2)$，$x_1x_2 = m^2 + 4$。
已知$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 21$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 21$。
代入得：$[-2(m - 2)]^2 - 3(m^2 + 4) = 21$，
化简：$4(m^2 - 4m + 4) - 3m^2 - 12 = 21$，
$4m^2 - 16m + 16 - 3m^2 - 12 - 21 = 0$，
$m^2 - 16m - 17 = 0$，
解得$m_1 = 17$，$m_2 = -1$。
方程有两实根，$\Delta = [2(m - 2)]^2 - 4(m^2 + 4) \geq 0$，
$4(m^2 - 4m + 4) - 4m^2 - 16 \geq 0$，
$-16m \geq 0$，$m \leq 0$。
$\because 17 ＞ 0$（舍去），$-1 \leq 0$，
$\therefore m = -1$。