1. 如图,点 A、B、C、D 都在$\odot O$上,$∠ABC= 90^{\circ },AD= 3,CD= 2$,则$\odot O$的直径为
$\sqrt{13}$
.答案：$\sqrt{13}$
解析：
∵点A、B、C、D都在$\odot O$上，$\angle ABC=90^\circ$，
∴AC是$\odot O$的直径，$\angle ADC=90^\circ$。
∵AD=3，CD=2，
∴在$Rt\triangle ADC$中，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$
2. 如图,已知$\odot O是\triangle ABD$的外接圆,AB 是$\odot O$的直径,CD 是$\odot O$的弦,$∠ABD= 58^{\circ }$,则$∠BCD= $
32°
.答案：32°
解析：
连接AD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\angle ADB=90^{\circ}$，
∵$\angle ABD=58^{\circ}$，
∴$\angle BAD=90^{\circ}-\angle ABD=32^{\circ}$，
∵$\angle BCD=\angle BAD$，
∴$\angle BCD=32^{\circ}$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\angle ADB=90^{\circ}$，
∵$\angle ABD=58^{\circ}$，
∴$\angle BAD=90^{\circ}-\angle ABD=32^{\circ}$，
∵$\angle BCD=\angle BAD$，
∴$\angle BCD=32^{\circ}$。
3. 如图,AB 是半圆的直径,D 是$\widehat {AC}$的中点,$∠B= 40^{\circ }$,则$∠A= $
70
°.答案：70
解析：
连接BC。
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠B=40°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-40°=50°。
70
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠B=40°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-40°=50°。
70
4. 如图,$\triangle ADC$的外接圆直径 AB 交 CD 于点 E,已知$∠C= 65^{\circ },∠D= 47^{\circ }$.求$∠CEB$的度数.
答案：
解：连接BC，
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵∠ACD=65°
∴∠ECB=90°-65°=25°
∵∠B=∠D=47°
∴∠CEB=180°-∠ECB-∠B=180°-25°-47°=108°
解：连接BC，
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵∠ACD=65°
∴∠ECB=90°-65°=25°
∵∠B=∠D=47°
∴∠CEB=180°-∠ECB-∠B=180°-25°-47°=108°
5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以 AB 为直径的$\odot O$分别交 BC、AC 于点 D、E,$\widehat {BD}的度数是40^{\circ }$.求$∠BAC$的度数.
答案：
解：连接AD，
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形.
∵AB为直径
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
∴D为BC中点∵O为AB中点
∴OD为△ABC的中位线
∴OD//AC∴∠BAC=∠BOD
∵$\overset{\LARGE{ \frown}}{BD}$的度数是40°，
即∠BOD=40°
∴∠BAC=40°
解：连接AD，
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形.
∵AB为直径
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
∴D为BC中点∵O为AB中点
∴OD为△ABC的中位线
∴OD//AC∴∠BAC=∠BOD
∵$\overset{\LARGE{ \frown}}{BD}$的度数是40°，
即∠BOD=40°
∴∠BAC=40°
解析：
连接AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
∵$\widehat{BD}$的度数是40°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠BAD=70°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°。
∴∠BAC=180°-2×70°=40°。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
∵$\widehat{BD}$的度数是40°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠BAD=70°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°。
∴∠BAC=180°-2×70°=40°。