例2 如图2.5.3,在△ABC中,∠C= 90°,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC相切于点D,与AB相交于点E.
(1)求证:AD是∠BAC的平分线;
(2)若BE= 2,BD= 4,求AE的长.
(1)求证:AD是∠BAC的平分线;
(2)若BE= 2,BD= 4,求AE的长.
答案：
解：(1)连接OD
∵BC与⊙O相切于点D
∴OD⊥BD，又∠C=90°
∴AC//OD，∴∠ODA=∠DAC
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA
∴∠CAD=∠DAO
∴AD是∠BAC的平分线
(2)设OE=x，则OD=x，OB=x+2
在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²
即x²+4²=(x+2)²，解得x=3
则AE=2OE=6
解：(1)连接OD
∵BC与⊙O相切于点D
∴OD⊥BD，又∠C=90°
∴AC//OD，∴∠ODA=∠DAC
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA
∴∠CAD=∠DAO
∴AD是∠BAC的平分线
(2)设OE=x，则OD=x，OB=x+2
在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²
即x²+4²=(x+2)²，解得x=3
则AE=2OE=6
1. 给出下列说法:① 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;② 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;③ 垂直于圆的半径的直线是圆的切线;④ 过圆的半径的外端的直线是圆的切线;⑤ 经过圆心和切点的直线垂直于这条切线.其中,正确的是
①②⑤
. (填序号)答案：①②⑤
2. 如图,⊙O与AB相切于点A,BO与⊙O相交于点C,且∠BAC= 27°,则∠B= ______°.
36
答案：36
解析：
连接OA。
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，∠OAB=90°。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA。
设∠B=x°，则∠OCA=∠BAC+∠B=27°+x°，
∴∠OAC=27°+x°。
∵∠OAB=∠OAC+∠BAC，
∴90°=27°+x°+27°，
解得x=36。
∠B=36°。
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，∠OAB=90°。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA。
设∠B=x°，则∠OCA=∠BAC+∠B=27°+x°，
∴∠OAC=27°+x°。
∵∠OAB=∠OAC+∠BAC，
∴90°=27°+x°+27°，
解得x=36。
∠B=36°。
3. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,过点C的切线与AB的延长线交于点P,若∠P= 40°,则∠D的度数为
115°
.答案：115°
解析：
连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∠OCP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠COP=180°-∠OCP-∠P=50°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∴∠OAC=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠ABC=180°-∠OAC-∠ACB=65°，
∴∠D=180°-∠ABC=115°.
115°
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∠OCP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠COP=180°-∠OCP-∠P=50°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∴∠OAC=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠ABC=180°-∠OAC-∠ACB=65°，
∴∠D=180°-∠ABC=115°.
115°
4. 两个同心圆的大圆半径为5 cm,小圆半径为3 cm,大圆的弦AB与小圆相切,切点为C,则弦AB的长是
8cm
.答案：8cm
解析：
连接OA，OC。
∵AB与小圆相切于点C，
∴OC⊥AB，OC=3cm。
∵OA为大圆半径，
∴OA=5cm。
在Rt△OAC中，$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$cm。
∵OC⊥AB，O为圆心，
∴AB=2AC=2×4=8cm。
8 cm
∵AB与小圆相切于点C，
∴OC⊥AB，OC=3cm。
∵OA为大圆半径，
∴OA=5cm。
在Rt△OAC中，$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$cm。
∵OC⊥AB，O为圆心，
∴AB=2AC=2×4=8cm。
8 cm
5. 如图,在平面直角坐标系中,⊙A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点,若点M的坐标是(-4,-2),则点N的坐标是______.
答案：
解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，
连接AN，则BM=BN，
设圆A的半径为r，则AN=r， AB=2，\
BM=BN=4-r，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，
$2^2+(4-r)^2=r^2，$可得： r=2.5，
∴ BN=4-2.5=1.5，
则N到y轴的距离为： AO-BN=2.5-1.5=1，
又点N在第三象限，
∴N的坐标为(-1， -2) .
解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，
连接AN，则BM=BN，
设圆A的半径为r，则AN=r， AB=2，\
BM=BN=4-r，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，
$2^2+(4-r)^2=r^2，$可得： r=2.5，
∴ BN=4-2.5=1.5，
则N到y轴的距离为： AO-BN=2.5-1.5=1，
又点N在第三象限，
∴N的坐标为(-1， -2) .
解析：
设⊙A的半径为$r$，因为⊙A与y轴相切于原点O，所以圆心A的坐标为$(-r,0)$。
直线MN平行于x轴，点M的坐标是$(-4,-2)$，所以点N的纵坐标为$-2$，设点N的坐标为$(x,-2)$。
圆心A$(-r,0)$到直线MN的距离为$|0 - (-2)| = 2$，MN的长度为$|x - (-4)| = |x + 4|$，根据垂径定理，圆心到弦的距离垂直平分弦，所以弦长的一半为$\frac{|x + 4|}{2}$。
由勾股定理得：$(\frac{|x + 4|}{2})^2 + 2^2 = r^2$。
又因为点M$(-4,-2)$在⊙A上，所以$(-4 + r)^2 + (-2 - 0)^2 = r^2$，即$(r - 4)^2 + 4 = r^2$，展开得$r^2 - 8r + 16 + 4 = r^2$，解得$r = \frac{5}{2}$。
将$r = \frac{5}{2}$代入$(\frac{|x + 4|}{2})^2 + 4 = (\frac{5}{2})^2$，即$(\frac{|x + 4|}{2})^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$，所以$\frac{|x + 4|}{2} = \frac{3}{2}$，$|x + 4| = 3$，解得$x = -1$或$x = -7$（舍去），故点N的坐标是$(-1,-2)$。
$(-1,-2)$
直线MN平行于x轴，点M的坐标是$(-4,-2)$，所以点N的纵坐标为$-2$，设点N的坐标为$(x,-2)$。
圆心A$(-r,0)$到直线MN的距离为$|0 - (-2)| = 2$，MN的长度为$|x - (-4)| = |x + 4|$，根据垂径定理，圆心到弦的距离垂直平分弦，所以弦长的一半为$\frac{|x + 4|}{2}$。
由勾股定理得：$(\frac{|x + 4|}{2})^2 + 2^2 = r^2$。
又因为点M$(-4,-2)$在⊙A上，所以$(-4 + r)^2 + (-2 - 0)^2 = r^2$，即$(r - 4)^2 + 4 = r^2$，展开得$r^2 - 8r + 16 + 4 = r^2$，解得$r = \frac{5}{2}$。
将$r = \frac{5}{2}$代入$(\frac{|x + 4|}{2})^2 + 4 = (\frac{5}{2})^2$，即$(\frac{|x + 4|}{2})^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$，所以$\frac{|x + 4|}{2} = \frac{3}{2}$，$|x + 4| = 3$，解得$x = -1$或$x = -7$（舍去），故点N的坐标是$(-1,-2)$。
$(-1,-2)$