9. (1)如图①,等边三角形ABC的边长为4,⊙C的半径为2,P为边AB上一动点,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,则线段PQ的最小值为
(2)如图②,在△ABC中,AB= 5,AC= 4,BC= 3,过点C且与边AB相切的圆与线段CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF的最小值为
2√2
.(2)如图②,在△ABC中,AB= 5,AC= 4,BC= 3,过点C且与边AB相切的圆与线段CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF的最小值为
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.答案：1. （1）
连接$CP$，$CQ$：
因为$PQ$是$\odot C$的切线，所以$CQ\perp PQ$，在$Rt\triangle CPQ$中，根据勾股定理$PQ = \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}}$。
已知$CQ = 2$（半径），所以$PQ=\sqrt{CP^{2}-4}$。
当$CP\perp AB$时，$CP$的值最小。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，边长$AB = 4$，根据等边三角形三线合一性质，$CP\perp AB$时，$AP = BP=\frac{1}{2}AB = 2$。
再根据勾股定理$CP=\sqrt{AC^{2}-AP^{2}}$，$AC = 4$，$AP = 2$，则$CP=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{16 - 4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
把$CP = 2\sqrt{3}$代入$PQ=\sqrt{CP^{2}-4}$，得$PQ=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-4}=\sqrt{12 - 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. （2）
因为$AB = 5$，$AC = 4$，$BC = 3$，满足$BC^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25=AB^{2}$，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
设切点为$D$，连接$CD$，设圆的半径为$r$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}(AC + BC+AB)\cdot r$（利用三角形面积的两种表示方法，一种是$\frac{1}{2}AC\cdot BC$，另一种是$\frac{1}{2}(AC + BC + AB)\cdot r$，这里$r$是内切圆半径的推广形式），$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，$\frac{1}{2}(3 + 4+5)\cdot r=6$，解得$r = 1$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$EF$是圆的直径（$\angle ACB = 90^{\circ}$，$EF$所对圆周角为$90^{\circ}$，所以$EF$是直径）。
当$CD$为圆的直径时$EF$最小，根据三角形面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，则$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}$。
把$AC = 4$，$BC = 3$，$AB = 5$代入得$CD=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，即$EF$的最小值为$\frac{12}{5}$。
故答案为：（1）$2\sqrt{2}$；（2）$\frac{12}{5}$。
连接$CP$，$CQ$：
因为$PQ$是$\odot C$的切线，所以$CQ\perp PQ$，在$Rt\triangle CPQ$中，根据勾股定理$PQ = \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}}$。
已知$CQ = 2$（半径），所以$PQ=\sqrt{CP^{2}-4}$。
当$CP\perp AB$时，$CP$的值最小。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，边长$AB = 4$，根据等边三角形三线合一性质，$CP\perp AB$时，$AP = BP=\frac{1}{2}AB = 2$。
再根据勾股定理$CP=\sqrt{AC^{2}-AP^{2}}$，$AC = 4$，$AP = 2$，则$CP=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{16 - 4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
把$CP = 2\sqrt{3}$代入$PQ=\sqrt{CP^{2}-4}$，得$PQ=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-4}=\sqrt{12 - 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. （2）
因为$AB = 5$，$AC = 4$，$BC = 3$，满足$BC^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25=AB^{2}$，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
设切点为$D$，连接$CD$，设圆的半径为$r$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}(AC + BC+AB)\cdot r$（利用三角形面积的两种表示方法，一种是$\frac{1}{2}AC\cdot BC$，另一种是$\frac{1}{2}(AC + BC + AB)\cdot r$，这里$r$是内切圆半径的推广形式），$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，$\frac{1}{2}(3 + 4+5)\cdot r=6$，解得$r = 1$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$EF$是圆的直径（$\angle ACB = 90^{\circ}$，$EF$所对圆周角为$90^{\circ}$，所以$EF$是直径）。
当$CD$为圆的直径时$EF$最小，根据三角形面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，则$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}$。
把$AC = 4$，$BC = 3$，$AB = 5$代入得$CD=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，即$EF$的最小值为$\frac{12}{5}$。
故答案为：（1）$2\sqrt{2}$；（2）$\frac{12}{5}$。
例1 如图2.5.4,在△ABC中,∠ABC= 70°,∠BAC= 50°,△ABC的内切圆O分别切AC、AB、BC于点D、E、F.求∠DEF及∠AOB的度数.
答案：
解：连接OD，OE，OF
∵ AC、AB、BC为⊙O的切线
∴ OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC
∴ ∠ODC=∠OFC=90°
∵ ∠ABC=70°，∠BAC=50
°∴ ∠C=180°-70°-50°=60°
∴ ∠DOF=360°-90°-90°-60°=120°
∴$ ∠DEF=\frac 1 2∠DOF=60°$
∵ OD=OE=OF∴ AO平分∠CAB，BO平分∠CBA
∴$ ∠OAB=\frac 12∠BAC=25°，$$∠OBA=\frac 1 2∠ABC=35°$
∴ ∠AOB=180°-25°-35°=120°
解：连接OD，OE，OF
∵ AC、AB、BC为⊙O的切线
∴ OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC
∴ ∠ODC=∠OFC=90°
∵ ∠ABC=70°，∠BAC=50
°∴ ∠C=180°-70°-50°=60°
∴ ∠DOF=360°-90°-90°-60°=120°
∴$ ∠DEF=\frac 1 2∠DOF=60°$
∵ OD=OE=OF∴ AO平分∠CAB，BO平分∠CBA
∴$ ∠OAB=\frac 12∠BAC=25°，$$∠OBA=\frac 1 2∠ABC=35°$
∴ ∠AOB=180°-25°-35°=120°
解析：
连接OD、OF。
在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=50°，则∠ACB=180°-70°-50°=60°。
∵内切圆O分别切AC、BC于点D、F，
∴OD⊥AC，OF⊥BC，∠ODC=∠OFC=90°。
在四边形ODCF中，∠DOF=360°-∠ODC-∠OFC-∠C=360°-90°-90°-60°=120°。
∵∠DEF是圆周角，∠DOF是圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{DF}$，
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别平分∠BAC、∠ABC。
∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-35°=120°。
∠DEF=60°，∠AOB=120°。
在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=50°，则∠ACB=180°-70°-50°=60°。
∵内切圆O分别切AC、BC于点D、F，
∴OD⊥AC，OF⊥BC，∠ODC=∠OFC=90°。
在四边形ODCF中，∠DOF=360°-∠ODC-∠OFC-∠C=360°-90°-90°-60°=120°。
∵∠DEF是圆周角，∠DOF是圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{DF}$，
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别平分∠BAC、∠ABC。
∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-35°=120°。
∠DEF=60°，∠AOB=120°。