例 1 (1)若用圆心角为 $120^\circ$,半径为 6 的扇形制作一个圆锥,则这个圆锥的侧面积为
(2)已知圆锥的母线长为 5,底面半径为 2,则圆锥的侧面积为
(3)若圆锥的底面半径为 6,侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线长为
$12\pi$
,圆锥的高为$4\sqrt{2}$
.(2)已知圆锥的母线长为 5,底面半径为 2,则圆锥的侧面积为
$10\pi$
.它的侧面展开图的圆心角度数为$144^\circ$
.(3)若圆锥的底面半径为 6,侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线长为
12
.答案：（1）$12\pi$,$4\sqrt{2}$;（2）$10\pi$,$144^\circ$;（3）12.
解析：
（1）圆锥侧面积：$\frac{120^\circ}{360^\circ}×\pi×6^2 = 12\pi$；圆锥底面半径：$\frac{120^\circ}{360^\circ}×2\pi×6÷2\pi = 2$；圆锥的高：$\sqrt{6^2 - 2^2} = 4\sqrt{2}$。
（2）圆锥侧面积：$\pi×2×5 = 10\pi$；侧面展开图的圆心角度数：$\frac{2\pi×2}{2\pi×5}×360^\circ = 144^\circ$。
（3）设母线长为$l$，则$\pi l = 2\pi×6$，解得$l = 12$。
（2）圆锥侧面积：$\pi×2×5 = 10\pi$；侧面展开图的圆心角度数：$\frac{2\pi×2}{2\pi×5}×360^\circ = 144^\circ$。
（3）设母线长为$l$，则$\pi l = 2\pi×6$，解得$l = 12$。
例 2 如图 2.8.1,圆锥的底面半径 $r= 10\ cm$,母线长为 40 cm.
(1)求它的侧面展开图的圆心角和侧面积；
(2)一甲虫从圆锥底面圆上点 A 出发,沿着圆锥侧面绕行到母线 SA 的中点 B,它所走的最短路程是多少厘米?
(1)求它的侧面展开图的圆心角和侧面积；
(2)一甲虫从圆锥底面圆上点 A 出发,沿着圆锥侧面绕行到母线 SA 的中点 B,它所走的最短路程是多少厘米?
答案：
解：$\text{(1)}$设圆锥侧面展开图的圆心角为n°
依题意得，$\frac{n\pi ×40}{180}=2\pi ×10$
解得$\text{，}n=90$
∴圆锥侧面展开图的圆心角为90°，
侧面积$=\pi ×10×40=400\pi \text{(\,\,cm}^2\text{)}$
$\left( 2 \right) $如图所示$\text{，}$
由圆锥的侧面展开图可见，从点A爬到点B的最短路程为线段AB的长度.
在Rt△ABS中，∵$AS=A'S=40\,\,\text{cm}，$B为A'S的中点
∴$BS=\frac{1}{2}A'S=20\,\,\text{cm}$
∴$AB=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}\,\,\text{cm}$
∴它所走的最短路程为$20\sqrt{5}\,\,\text{cm}.$
解：$\text{(1)}$设圆锥侧面展开图的圆心角为n°
依题意得，$\frac{n\pi ×40}{180}=2\pi ×10$
解得$\text{，}n=90$
∴圆锥侧面展开图的圆心角为90°，
侧面积$=\pi ×10×40=400\pi \text{(\,\,cm}^2\text{)}$
$\left( 2 \right) $如图所示$\text{，}$
由圆锥的侧面展开图可见，从点A爬到点B的最短路程为线段AB的长度.
在Rt△ABS中，∵$AS=A'S=40\,\,\text{cm}，$B为A'S的中点
∴$BS=\frac{1}{2}A'S=20\,\,\text{cm}$
∴$AB=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}\,\,\text{cm}$
∴它所走的最短路程为$20\sqrt{5}\,\,\text{cm}.$
解析：
(1)圆锥底面周长为$2\pi r = 2\pi×10 = 20\pi\ cm$，侧面展开图扇形弧长等于底面周长，设圆心角为$n^\circ$，由$\frac{n\pi×40}{180}=20\pi$，解得$n = 90$，侧面积为$\frac{1}{2}×20\pi×40 = 400\pi\ cm^2$。
(2)将圆锥侧面展开，扇形圆心角$90^\circ$，母线$SA = 40\ cm$，$B$为$SA$中点，所以$SB = 20\ cm$，展开后$A$点对应扇形弧的一个端点，$\angle ASA' = 90^\circ$（$A'$为展开后$A$的对应点），则最短路程为$AB$，在$Rt\triangle ASB$中，$AB=\sqrt{SA^2 + SB^2}=\sqrt{40^2 + 20^2}=\sqrt{1600 + 400}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\ cm$。
1. 如图,一把遮阳伞撑开时,母线长为 2 m,底面半径为1 m,制作这把遮阳伞至少需要用布料(
A.$4\pi\ m^2$
B.$2\pi\ m^2$
C.$\pi\ m^2$
D.$\frac{1}{2}\pi\ m^2$
B
)A.$4\pi\ m^2$
B.$2\pi\ m^2$
C.$\pi\ m^2$
D.$\frac{1}{2}\pi\ m^2$
答案：B
解析：
遮阳伞展开为扇形，其面积即为所需布料面积。
扇形半径$ R = 2\ m $，底面圆半径$ r = 1\ m $。
底面圆周长$ C = 2\pi r = 2\pi×1 = 2\pi\ m $，此即扇形弧长$ l $。
扇形面积$ S = \frac{1}{2}lR = \frac{1}{2}×2\pi×2 = 2\pi\ m^2 $。
B
扇形半径$ R = 2\ m $，底面圆半径$ r = 1\ m $。
底面圆周长$ C = 2\pi r = 2\pi×1 = 2\pi\ m $，此即扇形弧长$ l $。
扇形面积$ S = \frac{1}{2}lR = \frac{1}{2}×2\pi×2 = 2\pi\ m^2 $。
B