9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 54^{\circ}$,以$AB为直径的\odot O分别交AC$、$BC于点D$、$E$,过点$B作\odot O$的切线,交$AC的延长线于点F$.
(1)求证:$BE= CE$;
(2)求$\angle CBF$的度数;
(3)若$AB= 6$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.
(1)求证:$BE= CE$;
(2)求$\angle CBF$的度数;
(3)若$AB= 6$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.
答案：
证明：(1) 连接AE，
∵AB=AC∴△ABC为等腰三角形
∵AB为$\odot O$的直径
∴AE⊥BC∴BE=CE
(2) ∵△ABC为等腰三角形且AE⊥BC
∴AE平分∠BAC∴∠BAC=54°
∴$∠BAE=\frac {1}{2}∠BAC=27°$
∵∠AEB=90°
∴∠ABE=180°-90°-27°=63°
∵BF为$\odot O$的切线
∴∠OBF=90°
∴∠CBF=∠OBF-∠ABE=90°-63°=27°
解：(3) 连接OD，
∵∠BAC=54°，OA=OD
∴∠ODA=∠BAC=54°
∴∠AOD=180°-54°-54°=72°
∵AB=6
∴$\odot O$的半径为3
∴$\overset{\LARGE{ \frown}}{AD}=\frac {72\pi ×3}{180}=\frac {6}{5}\pi$
证明：(1) 连接AE，
∵AB=AC∴△ABC为等腰三角形
∵AB为$\odot O$的直径
∴AE⊥BC∴BE=CE
(2) ∵△ABC为等腰三角形且AE⊥BC
∴AE平分∠BAC∴∠BAC=54°
∴$∠BAE=\frac {1}{2}∠BAC=27°$
∵∠AEB=90°
∴∠ABE=180°-90°-27°=63°
∵BF为$\odot O$的切线
∴∠OBF=90°
∴∠CBF=∠OBF-∠ABE=90°-63°=27°
解：(3) 连接OD，
∵∠BAC=54°，OA=OD
∴∠ODA=∠BAC=54°
∴∠AOD=180°-54°-54°=72°
∵AB=6
∴$\odot O$的半径为3
∴$\overset{\LARGE{ \frown}}{AD}=\frac {72\pi ×3}{180}=\frac {6}{5}\pi$
10. 如图,在$□ ABCD$中,点$O在边AD$上,$A$、$B$、$C三点在\odot O$上,点$E在\odot O$外,且$OE\perp BC$,垂足为$F$.若$OF= 8$,$OD= 2$,求$AB$的长.
答案：
解：连接OC，过O作OG//CD交BC与点G.
则由▱ABCD可得AB//CD//OG，OD//CG，
可得▱ODCG，
∴CG=OD=2
设圆的半径为r，CF=x，
则AO=OC=r，AD=r+2，BC=2x
由平行四边形ABCD可得，AD=BC，AB=CD，
∴2x=r+2，r=2x-2
在Rt△OFC中，$OF^2+FC^2=OC^2，$
即$8^2+x^2=(2x-2)^2$
解得x=6或$x=-\frac {10}3($舍去)
∴FG=6-2=4
∴$OG=\sqrt {OF^2+FG^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt {5}$
∴$AB=OG=4\sqrt {5}$
解：连接OC，过O作OG//CD交BC与点G.
则由▱ABCD可得AB//CD//OG，OD//CG，
可得▱ODCG，
∴CG=OD=2
设圆的半径为r，CF=x，
则AO=OC=r，AD=r+2，BC=2x
由平行四边形ABCD可得，AD=BC，AB=CD，
∴2x=r+2，r=2x-2
在Rt△OFC中，$OF^2+FC^2=OC^2，$
即$8^2+x^2=(2x-2)^2$
解得x=6或$x=-\frac {10}3($舍去)
∴FG=6-2=4
∴$OG=\sqrt {OF^2+FG^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt {5}$
∴$AB=OG=4\sqrt {5}$