11. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$BC为\odot O$的直径,$E为\triangle ABC$的内心,连接$AE并延长交\odot O于点D$,连接$BE$.
(1)求证:$DB= DE$;
(2)若过点$C的切线与BD的延长线交于点F$,已知$DE= 3\sqrt{2}$,求$\overset{\frown}{DC}$、线段$DF$、$CF$围成的阴影部分面积.
(1)求证:$DB= DE$;
(2)若过点$C的切线与BD的延长线交于点F$,已知$DE= 3\sqrt{2}$,求$\overset{\frown}{DC}$、线段$DF$、$CF$围成的阴影部分面积.
答案：
证明：( 1 ) ：∵E是△ABC的内心.
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE.
解：( 2 ) 连接CD、OD
∴∠BAD=∠DAC，
∴$\overgroup{BD}=\overgroup{CD}，$
∴BD=CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵FC是切线，
∴∠BCF=90°，∴∠DCF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∵$DE=DB=3\sqrt{2}，$
∴OD=OC=3，$DF=CD=BD=3\sqrt{2}，$
∴S_阴=S_{△CDF}-( S_{扇形OCD}-S_{△OCD} )
$=\frac {1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}-$
$(\frac {90×\pi ×3^2}{360}-\frac {1}{2}×3×3) $
$=\frac {27}{2}-\frac {9\pi}{4} $
证明：( 1 ) ：∵E是△ABC的内心.
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE.
解：( 2 ) 连接CD、OD
∴∠BAD=∠DAC，
∴$\overgroup{BD}=\overgroup{CD}，$
∴BD=CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵FC是切线，
∴∠BCF=90°，∴∠DCF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∵$DE=DB=3\sqrt{2}，$
∴OD=OC=3，$DF=CD=BD=3\sqrt{2}，$
∴S_阴=S_{△CDF}-( S_{扇形OCD}-S_{△OCD} )
$=\frac {1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}-$
$(\frac {90×\pi ×3^2}{360}-\frac {1}{2}×3×3) $
$=\frac {27}{2}-\frac {9\pi}{4} $
12. 如图,$\odot O是Rt\triangle ABC$的外接圆,$\angle ABC= 90^{\circ}$,弦$BD= BA$,$BE\perp DC$,并且交$DC的延长线于点E$.
(1)求证:$\angle BCA= \angle BAD$;
(2)求证:$BE是\odot O$的切线.
(1)求证:$\angle BCA= \angle BAD$;
(2)求证:$BE是\odot O$的切线.
答案：
证明：( 1 ) ∵∠BCA、∠BDA都是$\overset{\LARGE{ \frown}}{AB}$所对的圆周角
∴∠BCA=∠BDA
∵BD=BA
∴BAD=∠BDA
∴∠BCA=∠BAD
( 2 ) 连接OB，
∵OB=OC，BD=BA
∴∠BCA=∠CBO，∠BAD=∠BDA
∴∠BOC=180°-2∠BCA，∠ABD=180°-2∠BAD
∵∠BCA=∠BAD
∴∠BOC=∠ABD
∵∠ABD、∠ACD都是$\overgroup{AD}$所对的圆周角
∴∠ABD=∠ACD=∠BOC
∴CD//OB
∵BE⊥CD
∴BE⊥OB
∴BE是$\odot O$的切线
证明：( 1 ) ∵∠BCA、∠BDA都是$\overset{\LARGE{ \frown}}{AB}$所对的圆周角
∴∠BCA=∠BDA
∵BD=BA
∴BAD=∠BDA
∴∠BCA=∠BAD
( 2 ) 连接OB，
∵OB=OC，BD=BA
∴∠BCA=∠CBO，∠BAD=∠BDA
∴∠BOC=180°-2∠BCA，∠ABD=180°-2∠BAD
∵∠BCA=∠BAD
∴∠BOC=∠ABD
∵∠ABD、∠ACD都是$\overgroup{AD}$所对的圆周角
∴∠ABD=∠ACD=∠BOC
∴CD//OB
∵BE⊥CD
∴BE⊥OB
∴BE是$\odot O$的切线