16. (10 分)如图,等边三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$,$P$ 是劣弧 $BC$ 上的一点(端点除外),延长 $BP$ 至点 $D$,使 $BD = AP$,连接 $CD$.
(1) 若 $AP$ 过圆心 $O$(图①),请判断 $\triangle PDC$ 是什么三角形;
(2) 若 $AP$ 不过圆心 $O$(图②),请判断 $\triangle PDC$ 是什么三角形,并说明理由.
(1) 若 $AP$ 过圆心 $O$(图①),请判断 $\triangle PDC$ 是什么三角形;
(2) 若 $AP$ 不过圆心 $O$(图②),请判断 $\triangle PDC$ 是什么三角形,并说明理由.
答案：(1) △PDC是等边三角形。
理由：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°。
∵AP过圆心O，∴AP平分∠BAC，∠BAP=30°。
∵点P在劣弧BC上，∴∠BCP=∠BAP=30°（同弧BP所对圆周角相等）。
∵BD=AP，AB=BC，∠BAP=∠CBD=30°（可证弧BP=弧PC=60°，得∠CBD=30°），
∴△ABP≌△CBD（SAS），∴BP=CD，∠ABP=∠BCD=30°。
∴∠PCD=∠BCD+∠BCP=30°+30°=60°，又CD=PC（等弧对等弦），
∴△PDC是等边三角形。
(2) △PDC是等边三角形。
理由：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°。
∵点P在劣弧BC上，∴∠BAP=∠BCP（同弧BP所对圆周角相等），∠PAC=∠PBC（同弧PC所对圆周角相等）。
∵BD=AP，AB=BC，∠PAC=∠DBC，∴△APC≌△BDC（SAS），∴PC=DC。
∵∠ACB=60°，∠ACP=∠BCD（全等三角形对应角相等），
∴∠PCD=∠ACB=60°（∠PCD=∠BCD+∠BCP=∠ACP+∠BCP=∠ACB）。
∵PC=DC，∠PCD=60°，∴△PDC是等边三角形。
理由：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°。
∵AP过圆心O，∴AP平分∠BAC，∠BAP=30°。
∵点P在劣弧BC上，∴∠BCP=∠BAP=30°（同弧BP所对圆周角相等）。
∵BD=AP，AB=BC，∠BAP=∠CBD=30°（可证弧BP=弧PC=60°，得∠CBD=30°），
∴△ABP≌△CBD（SAS），∴BP=CD，∠ABP=∠BCD=30°。
∴∠PCD=∠BCD+∠BCP=30°+30°=60°，又CD=PC（等弧对等弦），
∴△PDC是等边三角形。
(2) △PDC是等边三角形。
理由：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°。
∵点P在劣弧BC上，∴∠BAP=∠BCP（同弧BP所对圆周角相等），∠PAC=∠PBC（同弧PC所对圆周角相等）。
∵BD=AP，AB=BC，∠PAC=∠DBC，∴△APC≌△BDC（SAS），∴PC=DC。
∵∠ACB=60°，∠ACP=∠BCD（全等三角形对应角相等），
∴∠PCD=∠ACB=60°（∠PCD=∠BCD+∠BCP=∠ACP+∠BCP=∠ACB）。
∵PC=DC，∠PCD=60°，∴△PDC是等边三角形。
17. (12 分)如图,$PA、PB$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $A、B$,点 $M$ 在 $PB$ 上,且 $OM // AP$,$MN \perp AP$,垂足为 $N$.
(1) 求证:$OM = AN$;
(2) 已知 $\odot O$ 的半径 $R = 3$,$PA = 9$,求 $OM$ 的长.
(1) 求证:$OM = AN$;
(2) 已知 $\odot O$ 的半径 $R = 3$,$PA = 9$,求 $OM$ 的长.
答案：
(1) 见证明过程；
(2) 5。
(1) 见证明过程；
(2) 5。
解析：
(1) 证明：
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA（切线垂直于经过切点的半径），即∠OAP=90°。
∵MN⊥AP，
∴∠MNP=90°，
∴OA//MN（垂直于同一直线的两直线平行）。
∵OM//AP（已知），
∴四边形OANM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴OM=AN（平行四边形对边相等）。
(2) 解：
设OM=AN=x，
∵PA=9，
∴PN=PA-AN=9-x。
∵四边形OANM是平行四边形，
∴MN=OA=R=3（平行四边形对边相等）。
∵PB是⊙O的切线，
∴PB=PA=9（切线长定理），OB⊥PB（切线垂直于经过切点的半径），即∠OBP=90°。
设BM=PB-PM=9-PM，在Rt△OBM中，OB=3，OM=x，由勾股定理得：BM²=OM²-OB²=x²-9，
∴BM=√(x²-9)，则PM=PB-BM=9-√(x²-9)。
在Rt△PMN中，MN=3，PN=9-x，PM=9-√(x²-9)，由勾股定理得：PM²=PN²+MN²，即(9-√(x²-9))²=(9-x)²+3²。
展开并化简：81-18√(x²-9)+x²-9=81-18x+x²+9，
整理得：-18√(x²-9)=-18x+18，即√(x²-9)=x-1。
两边平方：x²-9=x²-2x+1，解得2x=10，x=5。
∴OM=5。