23. (14分)某市城区去年年底机动车数量是10万辆,为了缓解城区交通拥堵状况,今年年初,市交通部门要求到明年年底控制城区机动车数量不超过11.9万辆.若根据以往经验,该市城区每年报废机动车的数量是上一年年底机动车数量的$10\%$,且假定每年新增机动车数量相同,问:
(1) 从今年年初起每年新增机动车数量最多是多少万辆?
(2) 在(1)的结论下,今年年底到明年年底机动车数量的年增长率是多少? (结果精确到$0.1\%$)
(1) 从今年年初起每年新增机动车数量最多是多少万辆?
(2) 在(1)的结论下,今年年底到明年年底机动车数量的年增长率是多少? (结果精确到$0.1\%$)
答案：答题卡：
(1) 设从今年年初起每年新增机动车数量为 $x$ 万辆。
根据题意，今年年底机动车数量为：$10 × (1 - 10\%) + x = 9 + x$（万辆）。
明年年底机动车数量为：$(9 + x) × (1 - 10\%) + x = 8.1 + 0.9x + x = 8.1 + 1.9x$（万辆）。
由题意，明年年底机动车数量不超过 $11.9$ 万辆，即：
$8.1 + 1.9x \leq 11.9$，
$1.9x \leq 3.8$，
$x \leq 2$。
答：从今年年初起每年新增机动车数量最多是 $2$ 万辆。
(2) 在 $x = 2$ 的情况下，今年年底机动车数量为 $9 + 2 = 11$（万辆），明年年底机动车数量为 $11.9$ 万辆。
设今年年底到明年年底机动车数量的年增长率为 $y$，则：
$11(1 + y) = 11.9$，
$1 + y = 1.081818...$，
$y \approx 0.081818... × 100\% \approx 8.2\%$（结果精确到 $0.1\%$）。
答：今年年底到明年年底机动车数量的年增长率是 $8.2\%$。
(1) 设从今年年初起每年新增机动车数量为 $x$ 万辆。
根据题意，今年年底机动车数量为：$10 × (1 - 10\%) + x = 9 + x$（万辆）。
明年年底机动车数量为：$(9 + x) × (1 - 10\%) + x = 8.1 + 0.9x + x = 8.1 + 1.9x$（万辆）。
由题意，明年年底机动车数量不超过 $11.9$ 万辆，即：
$8.1 + 1.9x \leq 11.9$，
$1.9x \leq 3.8$，
$x \leq 2$。
答：从今年年初起每年新增机动车数量最多是 $2$ 万辆。
(2) 在 $x = 2$ 的情况下，今年年底机动车数量为 $9 + 2 = 11$（万辆），明年年底机动车数量为 $11.9$ 万辆。
设今年年底到明年年底机动车数量的年增长率为 $y$，则：
$11(1 + y) = 11.9$，
$1 + y = 1.081818...$，
$y \approx 0.081818... × 100\% \approx 8.2\%$（结果精确到 $0.1\%$）。
答：今年年底到明年年底机动车数量的年增长率是 $8.2\%$。
解析：
(1)设从今年年初起每年新增机动车数量是$x$万辆。
今年年底机动车数量为：$10×(1 - 10\%)+x=9 + x$（万辆）
明年年底机动车数量为：$(9 + x)×(1 - 10\%)+x=8.1+1.9x$（万辆）
依题意得：$8.1 + 1.9x\leqslant11.9$
解得：$x\leqslant2$
答：从今年年初起每年新增机动车数量最多是$2$万辆。
(2)今年年底机动车数量为$9 + 2=11$（万辆）
明年年底机动车数量为$11.9$万辆
年增长率为：$\frac{11.9 - 11}{11}×100\%\approx8.2\%$
答：今年年底到明年年底机动车数量的年增长率约是$8.2\%$。
24. (16分)小刚在学习了“圆”的内容后发现,添加“辅助圆”会使一些几何问题的解决变得非常容易.通过添加“辅助圆”解决下列问题:
(1) 如图①,已知$AB = AC = AD,\angle CBD = 2\angle BDC,\angle BAC = 44^{\circ}$,则$\angle CAD$的度数为
(2) 如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 45^{\circ},AD是边BC$上的高,且$BD = 2,CD = 3$,求$AD$的长.
小刚认为本题有多种解法,其中用添加“辅助圆”的方法,可以使问题容易解决.他是这样思考的:为了能把$\angle BAC = 45^{\circ}和由条件得到的BC = 5$相结合,想到作出$\triangle ABC$的外接圆,记为$\odot O$,可以先求$\odot O的半径OB$的长,再进一步求出圆心$O到BC$、$AD$的距离,最后求$AD$的长.请运用小刚的思路,解决这道题.
(1) 如图①,已知$AB = AC = AD,\angle CBD = 2\angle BDC,\angle BAC = 44^{\circ}$,则$\angle CAD$的度数为
88°
. (2) 如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 45^{\circ},AD是边BC$上的高,且$BD = 2,CD = 3$,求$AD$的长.
小刚认为本题有多种解法,其中用添加“辅助圆”的方法,可以使问题容易解决.他是这样思考的:为了能把$\angle BAC = 45^{\circ}和由条件得到的BC = 5$相结合,想到作出$\triangle ABC$的外接圆,记为$\odot O$,可以先求$\odot O的半径OB$的长,再进一步求出圆心$O到BC$、$AD$的距离,最后求$AD$的长.请运用小刚的思路,解决这道题.
6
答案：(1) 88°；(2) 6。
解析：
(1) 88°
(2) 作△ABC外接圆⊙O，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F。
∵∠BAC=45°，∴圆心角∠BOC=2∠BAC=90°。
∵BC=BD+CD=5，OE⊥BC，∴E为BC中点，BE=EC=2.5，ED=|EC-CD|=0.5，故OF=ED=0.5。
△BOC为等腰直角三角形，OB=OC=R，BC²=2R²，得R²=25/2。
在Rt△BOE中，OE=√(R²-BE²)=√(25/2-25/4)=5/2。
设AD=h，OF=0.5，AF=h-OE=h-5/2。
在Rt△AOF中，OA²=AF²+OF²，即25/2=(h-5/2)²+(1/2)²。
解得(h-5/2)²=49/4，h=6（舍负）。
∴AD=6。
(2) 作△ABC外接圆⊙O，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F。
∵∠BAC=45°，∴圆心角∠BOC=2∠BAC=90°。
∵BC=BD+CD=5，OE⊥BC，∴E为BC中点，BE=EC=2.5，ED=|EC-CD|=0.5，故OF=ED=0.5。
△BOC为等腰直角三角形，OB=OC=R，BC²=2R²，得R²=25/2。
在Rt△BOE中，OE=√(R²-BE²)=√(25/2-25/4)=5/2。
设AD=h，OF=0.5，AF=h-OE=h-5/2。
在Rt△AOF中，OA²=AF²+OF²，即25/2=(h-5/2)²+(1/2)²。
解得(h-5/2)²=49/4，h=6（舍负）。
∴AD=6。