答案：1. 直接开平方法：适用于形如$x^2 = a(a \geq 0)$或$(x + m)^2 = n(n \geq 0)$的方程。例：$x^2 = 4$，解得$x = \pm 2$。
2. 配方法：适用于所有一元二次方程，尤其二次项系数为1且一次项系数为偶数时较简便。例：$x^2 + 4x - 5 = 0$，配方得$(x + 2)^2 = 9$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -5$。
3. 公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac \geq 0)$。例：$2x^2 - 3x - 1 = 0$，$a = 2$，$b = -3$，$c = -1$，解得$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$。
4. 因式分解法：适用于方程一边为0，另一边能分解成两个一次因式乘积的形式。例：$x^2 - 3x = 0$，分解为$x(x - 3) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。

答案：(1)
①
根据平方根的定义，若$a^2 = b$，则$a=\pm\sqrt{b}$。
对于方程$(x + 2)^2 = 1$，则$x + 2=\pm1$。
当$x + 2 = 1$时，$x = 1 - 2=-1$；
当$x + 2 = -1$时，$x = -1 - 2=-3$。
所以方程的解为$x_1 = -1$，$x_2 = -3$。
②
移项可得$x^2 - x = 0$，提取公因式$x$得$x(x - 1)=0$。
则$x = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 1$。
③
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，对于方程$(x - 2)(x + 1)=0$，有$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$。
当$x - 2 = 0$时，$x = 2$；当$x + 1 = 0$时，$x = -1$。
所以方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
(2)
①
方法一：直接开平方法。如(1)①中所示，根据平方根的定义求解。因为方程$(x + 2)^2 = 1$符合$a^2 = b$（$b\geq0$）的形式，所以可以用直接开平方法。
②
方法一：因式分解法。如(1)②中所示，先将方程移项化为$x^2 - x = 0$，再提取公因式$x$化为$x(x - 1)=0$的形式，然后根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”求解。
方法二：公式法。对于一元二次方程$ax^2+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
将方程$x^2 = x$化为一般形式为$x^2 - x = 0$，其中$a = 1$，$b = -1$，$c = 0$，$b^2 - 4ac=(-1)^2-4×1×0 = 1$，则$x=\frac{1\pm\sqrt{1}}{2}$，即$x_1 = 0$，$x_2 = 1$。
③
方法一：因式分解法。如(1)③中所示，根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”求解，因为方程$(x - 2)(x + 1)=0$已经是两个因式相乘等于$0$的形式。
方法二：公式法。将方程$(x - 2)(x + 1)=0$化为一般形式$x^2 - x - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = -1$，$c = -2$，$b^2 - 4ac=(-1)^2-4×1×(-2)=9$，则$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
综上，答案见上述详细过程。

答案：用因式分解法求解一元二次方程的步骤如下：
1. 将方程化为一般形式 $ax^{2} + bx + c = 0$；
2. 通过因式分解，将方程左边分解成两个一次因式的乘积 $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ 的形式；
3. 根据零因子定理，若两数之积为0，则至少有一个数为0，得到 $x - x_1 = 0$ 或 $x - x_2 = 0$；
4. 求解得到方程的两个根 $x_1,x_2$。
例如，对于方程 $x^{2} - 5x + 6 = 0$：
因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$；
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 3$。

答案：(1)
解：
利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对$(3x - 1)^2 - 4x^2 = 0$进行因式分解，
这里$a = 3x - 1$，$b = 2x$，则有：
$(3x - 1 + 2x)(3x - 1 - 2x)=0$
$(5x - 1)(x - 1)=0$
则$5x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$，
当$5x - 1 = 0$时，$x_1=\frac{1}{5}$；
当$x - 1 = 0$时，$x_2 = 1$。
(2)
解：
移项可得$3x^2 - 2x = 0$，
提取公因式$x$，得到$x(3x - 2)=0$，
则$x = 0$或$3x - 2 = 0$，
当$x = 0$时，$x_1 = 0$；
当$3x - 2 = 0$时，$x_2=\frac{2}{3}$。
综上，(1)中方程的解为$x_1=\frac{1}{5}$，$x_2 = 1$；(2)中方程的解为$x_1 = 0$，$x_2=\frac{2}{3}$。

答案：A