(1) 方程 $x(x + 3) - 2(x + 3) = 0$ 的根是
(2) 方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根是
(3) 解方程 $x(x - 1) = 2$ 时,要先把方程化成
(4) 以 1 和 -3 为两根的一元二次方程是
$x_1 = -3$，$x_2 = 2$
;(2) 方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根是
$x_1 = 0$，$x_2 = 4$
;(3) 解方程 $x(x - 1) = 2$ 时,要先把方程化成
$x^2 - x - 2 = 0$
,再选择适当方法求解,得方程的两根为 $x_1 = $2
,$x_2 = $-1
;(4) 以 1 和 -3 为两根的一元二次方程是
$x^2 + 2x - 3 = 0$
(写出一个即可).答案：(1)$x_1 = -3$，$x_2 = 2$；(2)$x_1 = 0$，$x_2 = 4$；(3)$x^2 - x - 2 = 0$，2，-1；(4)$x^2 + 2x - 3 = 0$
解析：
(1) $x(x + 3) - 2(x + 3) = 0$，提取公因式得$(x + 3)(x - 2) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 2$。
(2) $x^2 - 4x = 0$，提取公因式得$x(x - 4) = 0$，则$x = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
(3) $x(x - 1) = 2$，去括号得$x^2 - x = 2$，移项得$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x + 1) = 0$，则$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
(4) 设方程为$x^2 + bx + c = 0$，由根与系数关系得$-b = 1 + (-3) = -2$，$c = 1×(-3) = -3$，则$b = 2$，方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$。
(2) $x^2 - 4x = 0$，提取公因式得$x(x - 4) = 0$，则$x = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
(3) $x(x - 1) = 2$，去括号得$x^2 - x = 2$，移项得$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x + 1) = 0$，则$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
(4) 设方程为$x^2 + bx + c = 0$，由根与系数关系得$-b = 1 + (-3) = -2$，$c = 1×(-3) = -3$，则$b = 2$，方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$。
3. 用因式分解法解下列方程:
(1) $x^2 + 16x = 0$; (2) $49x^2 - 121 = 0$;
(3) $(3x - 1)^2 - (x + 1)^2 = 0$; (4) $5x^2 - 10x = -5$;
(5) $x(x - 3) + x - 3 = 0$; (6) $5x^2 - 4x + \frac{1}{4} = x^2 - \frac{3}{4}$.
(1) $x^2 + 16x = 0$; (2) $49x^2 - 121 = 0$;
(3) $(3x - 1)^2 - (x + 1)^2 = 0$; (4) $5x^2 - 10x = -5$;
(5) $x(x - 3) + x - 3 = 0$; (6) $5x^2 - 4x + \frac{1}{4} = x^2 - \frac{3}{4}$.
答案：(1)
$x(x + 16) = 0$，
$x = 0$ 或 $x + 16 = 0$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = - 16$。
(2)
$(7x + 11)(7x - 11) = 0$，
$7x + 11 = 0$ 或 $7x - 11 = 0$，
$x_{1} = - \frac{11}{7}$，$x_{2} = \frac{11}{7}$。
(3)
$[(3x - 1) + (x + 1)][(3x - 1) - (x + 1)] = 0$，
$(4x)(2x - 2) = 0$，
$4x = 0$ 或 $2x - 2 = 0$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = 1$。
(4)
$5x^{2} - 10x + 5 = 0$，
$5(x - 1)^{2} = 0$，
$x - 1 = 0$，
$x_{1} = x_{2} = 1$。
(5)
$(x - 3)(x + 1) = 0$，
$x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，
$x_{1} = 3$，$x_{2} = - 1$。
(6)
$5x^{2} - 4x + \frac{1}{4} - x^{2} + \frac{3}{4} = 0$，
$4x^{2} - 4x + 1 = 0$，
$(2x - 1)^{2} = 0$，
$2x - 1 = 0$，
$x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$。
$x(x + 16) = 0$，
$x = 0$ 或 $x + 16 = 0$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = - 16$。
(2)
$(7x + 11)(7x - 11) = 0$，
$7x + 11 = 0$ 或 $7x - 11 = 0$，
$x_{1} = - \frac{11}{7}$，$x_{2} = \frac{11}{7}$。
(3)
$[(3x - 1) + (x + 1)][(3x - 1) - (x + 1)] = 0$，
$(4x)(2x - 2) = 0$，
$4x = 0$ 或 $2x - 2 = 0$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = 1$。
(4)
$5x^{2} - 10x + 5 = 0$，
$5(x - 1)^{2} = 0$，
$x - 1 = 0$，
$x_{1} = x_{2} = 1$。
(5)
$(x - 3)(x + 1) = 0$，
$x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，
$x_{1} = 3$，$x_{2} = - 1$。
(6)
$5x^{2} - 4x + \frac{1}{4} - x^{2} + \frac{3}{4} = 0$，
$4x^{2} - 4x + 1 = 0$，
$(2x - 1)^{2} = 0$，
$2x - 1 = 0$，
$x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$。
解析：
(1) $x(x + 16) = 0$
$x = 0$ 或 $x + 16 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = -16$
(2) $(7x)^2 - 11^2 = 0$
$(7x + 11)(7x - 11) = 0$
$7x + 11 = 0$ 或 $7x - 11 = 0$
$x_1 = -\frac{11}{7}$，$x_2 = \frac{11}{7}$
(3) $[(3x - 1) + (x + 1)][(3x - 1) - (x + 1)] = 0$
$(4x)(2x - 2) = 0$
$4x = 0$ 或 $2x - 2 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = 1$
(4) $5x^2 - 10x + 5 = 0$
$5(x^2 - 2x + 1) = 0$
$5(x - 1)^2 = 0$
$x - 1 = 0$
$x_1 = x_2 = 1$
(5) $(x - 3)(x + 1) = 0$
$x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
(6) $4x^2 - 4x + 1 = 0$
$(2x - 1)^2 = 0$
$2x - 1 = 0$
$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$
1. 有下列 4 个方程:① $x^2 - 25 = 0$;② $y^2 = \sqrt{3}y$;③ $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = 0$;④ $x^2 + 2x + 1 = 0$.其中能用因式分解法求解的方程有 (
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
D
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：D
解析：
1. 对于方程① $x^2 - 25 = 0$，可变形为$(x+5)(x-5)=0$，能用因式分解法求解。
2. 对于方程② $y^2 = \sqrt{3}y$，移项得$y^2-\sqrt{3}y = 0$，提取公因式$y$得$y(y - \sqrt{3})=0$，能用因式分解法求解。
3. 对于方程③ $(x + 1)^2 - 4(x + 1)+4 = 0$，把$x + 1$看成一个整体，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，这里$a=x + 1$，$b = 2$，则$(x+1-2)^2=(x - 1)^2=0$，也可看作$(x - 1)(x - 1)=0$，能用因式分解法求解。
4. 对于方程④ $x^2+2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab + b^2$，这里$a=x$，$b = 1$，则$(x + 1)^2=0$，即$(x + 1)(x + 1)=0$，能用因式分解法求解。
四个方程都能用因式分解法求解。
2. 对于方程② $y^2 = \sqrt{3}y$，移项得$y^2-\sqrt{3}y = 0$，提取公因式$y$得$y(y - \sqrt{3})=0$，能用因式分解法求解。
3. 对于方程③ $(x + 1)^2 - 4(x + 1)+4 = 0$，把$x + 1$看成一个整体，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，这里$a=x + 1$，$b = 2$，则$(x+1-2)^2=(x - 1)^2=0$，也可看作$(x - 1)(x - 1)=0$，能用因式分解法求解。
4. 对于方程④ $x^2+2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab + b^2$，这里$a=x$，$b = 1$，则$(x + 1)^2=0$，即$(x + 1)(x + 1)=0$，能用因式分解法求解。
四个方程都能用因式分解法求解。
2. 解方程:
(1) $(2y + 1)^2 - 8(2y + 1) + 16 = 0$; (2) $3(x - 5)^2 = 2(5 - x)$.
(1) $(2y + 1)^2 - 8(2y + 1) + 16 = 0$; (2) $3(x - 5)^2 = 2(5 - x)$.
答案：(1)
令$t = 2y + 1$，则原方程可化为$t^{2}-8t + 16 = 0$。
对$t^{2}-8t + 16$进行因式分解，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(t - 4)^{2}=0$。
则$t - 4 = 0$，解得$t = 4$。
把$t = 4$代入$t = 2y + 1$，得$2y+1 = 4$，
移项可得$2y=4 - 1$，即$2y = 3$，
解得$y=\frac{3}{2}$。
(2)
移项得$3(x - 5)^{2}+2(x - 5)=0$。
提取公因式$(x - 5)$，得到$(x - 5)[3(x - 5)+2]=0$，即$(x - 5)(3x-15 + 2)=0$，进一步化简为$(x - 5)(3x-13)=0$。
则$x - 5 = 0$或$3x-13 = 0$。
由$x - 5 = 0$，解得$x_{1}=5$；
由$3x-13 = 0$，移项可得$3x=13$，解得$x_{2}=\frac{13}{3}$。
综上，(1)中方程的解为$y=\frac{3}{2}$；(2)中方程的解为$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{13}{3}$。
令$t = 2y + 1$，则原方程可化为$t^{2}-8t + 16 = 0$。
对$t^{2}-8t + 16$进行因式分解，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(t - 4)^{2}=0$。
则$t - 4 = 0$，解得$t = 4$。
把$t = 4$代入$t = 2y + 1$，得$2y+1 = 4$，
移项可得$2y=4 - 1$，即$2y = 3$，
解得$y=\frac{3}{2}$。
(2)
移项得$3(x - 5)^{2}+2(x - 5)=0$。
提取公因式$(x - 5)$，得到$(x - 5)[3(x - 5)+2]=0$，即$(x - 5)(3x-15 + 2)=0$，进一步化简为$(x - 5)(3x-13)=0$。
则$x - 5 = 0$或$3x-13 = 0$。
由$x - 5 = 0$，解得$x_{1}=5$；
由$3x-13 = 0$，移项可得$3x=13$，解得$x_{2}=\frac{13}{3}$。
综上，(1)中方程的解为$y=\frac{3}{2}$；(2)中方程的解为$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{13}{3}$。
3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m + 1)x + 3m - 6 = 0$.
(1) 求证:方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根是负数,求 $m$ 的取值范围.
(1) 求证:方程总有两个实数根;
(2) 若方程有一个根是负数,求 $m$ 的取值范围.
答案：答题卡：
(1)证明：
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程 $x^2 - (m + 1)x + 3m - 6 = 0$，有：
$a = 1, b = -(m + 1), c = 3m - 6$，
计算判别式：
$\Delta = (- (m + 1))^2 - 4× 1× (3m - 6)= m^2 + 2m + 1 - 12m + 24 = m^2 - 10m + 25 = (m - 5)^2$，
由于 $(m - 5)^2 \geq 0$，所以方程总有两个实数根。
(2)解：
由求根公式，方程 $x^2 - (m + 1)x + 3m - 6 = 0$ 的根为：
$x_{1,2} = \frac{(m + 1) \pm \sqrt{(m - 5)^2}}{2}$，
即：
$x_1 = \frac{(m + 1) + (m - 5)}{2} = m - 2$，
$x_2 = \frac{(m + 1) - (m - 5)}{2} = 3$，
因为方程有一个根是负数，所以 $m - 2 \lt 0$，
解得$m \lt 2$，
所以$m$ 的取值范围是 $m \lt 2$。
(1)证明：
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程 $x^2 - (m + 1)x + 3m - 6 = 0$，有：
$a = 1, b = -(m + 1), c = 3m - 6$，
计算判别式：
$\Delta = (- (m + 1))^2 - 4× 1× (3m - 6)= m^2 + 2m + 1 - 12m + 24 = m^2 - 10m + 25 = (m - 5)^2$，
由于 $(m - 5)^2 \geq 0$，所以方程总有两个实数根。
(2)解：
由求根公式，方程 $x^2 - (m + 1)x + 3m - 6 = 0$ 的根为：
$x_{1,2} = \frac{(m + 1) \pm \sqrt{(m - 5)^2}}{2}$，
即：
$x_1 = \frac{(m + 1) + (m - 5)}{2} = m - 2$，
$x_2 = \frac{(m + 1) - (m - 5)}{2} = 3$，
因为方程有一个根是负数，所以 $m - 2 \lt 0$，
解得$m \lt 2$，
所以$m$ 的取值范围是 $m \lt 2$。