21. (10分)为了解九年级毕业生的体能情况,某校抽取了九年级500人中的部分毕业生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小矩形的面积之比是$2:4:17:15:9:3$,第二小组的频数为12.试解答下列问题:
(1) 第二小组的频率是
(2) 在这次测试中,学生跳绳次数的众数落在第
(3) 若跳绳次数在130次以上(含130次)为达标,试估计该校九年级毕业生中达标的人数.
(1) 第二小组的频率是
0.08
,在这个问题中,样本容量是150
;(2) 在这次测试中,学生跳绳次数的众数落在第
三
小组内,中位数落在第四
小组内;(3) 若跳绳次数在130次以上(含130次)为达标,试估计该校九年级毕业生中达标的人数.
440
答案：(1)0.08，150；(2)三，四；(3)440。
解析：
(1) 各小组频率之比为2:4:17:15:9:3，总份数为2+4+17+15+9+3=50。第二小组频率为4/50=0.08；样本容量=第二小组频数÷第二小组频率=12÷0.08=150。故答案为0.08，150。
(2) 众数落在面积最大（频率最高）的小组，17为最大份数，对应第三小组（130-140次）；样本容量150，中位数为第75、76个数据。各小组频数：第一组2×3=6，第二组4×3=12，第三组17×3=51，第四组15×3=45，累计频数前三组6+12+51=69＜75，前四组69+45=114＞76，故中位数在第四小组。答案为三，四。
(3) 达标（≥130次）对应第三至六组，频数之和为51+45+27+9=132，达标率=132/150=0.88，估计总体达标人数=500×0.88=440。
(2) 众数落在面积最大（频率最高）的小组，17为最大份数，对应第三小组（130-140次）；样本容量150，中位数为第75、76个数据。各小组频数：第一组2×3=6，第二组4×3=12，第三组17×3=51，第四组15×3=45，累计频数前三组6+12+51=69＜75，前四组69+45=114＞76，故中位数在第四小组。答案为三，四。
(3) 达标（≥130次）对应第三至六组，频数之和为51+45+27+9=132，达标率=132/150=0.88，估计总体达标人数=500×0.88=440。
22. (10分)某市要组织一次中学篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),若计划安排15场比赛,则应邀请多少支球队参加比赛?
答案：设应邀请$x$支球队参加比赛。
由单循环赛制，每两队之间赛一场，总比赛场数可以用组合数表示为$C_{x}^{2} =\frac{x(x-1)}{2}$。
根据题意，有方程：
$\frac{x(x - 1)}{2} = 15$，
$x(x - 1) = 30$，
$x^{2} - x - 30 = 0$，
$(x - 6)(x + 5) = 0$，
解得$x_{1} = 6$，$x_{2} = - 5$（不合题意，舍去）。
答：应邀请6支球队参加比赛。
由单循环赛制，每两队之间赛一场，总比赛场数可以用组合数表示为$C_{x}^{2} =\frac{x(x-1)}{2}$。
根据题意，有方程：
$\frac{x(x - 1)}{2} = 15$，
$x(x - 1) = 30$，
$x^{2} - x - 30 = 0$，
$(x - 6)(x + 5) = 0$，
解得$x_{1} = 6$，$x_{2} = - 5$（不合题意，舍去）。
答：应邀请6支球队参加比赛。