3. 受益于新能源汽车产业的快速发展,某汽车零部件生产企业的利润逐年提高. 据统计,2022 年利润为 2 亿元,2024 年利润为 2.88 亿元.
(1) 求该企业从 2022 年到 2024 年利润的年平均增长率；
(2) 若利润的年平均增长率不变,该企业 2025 年的利润能否超过 3.5 亿元？
(1) 求该企业从 2022 年到 2024 年利润的年平均增长率；
(2) 若利润的年平均增长率不变,该企业 2025 年的利润能否超过 3.5 亿元？
答案：(1) 设该企业从 2022 年到 2024 年利润的年平均增长率为 $x$。
根据题意，2022 年利润为 2 亿元，2024 年利润为 2.88 亿元，列出方程：
$2(1 + x)^{2} = 2.88$，
解方程，得到：
$(1 + x)^{2} = 1.44$，
$1+x=\pm1.2$
由于增长率不能为负，舍去$x_2 = -2.2$，
得到$x = 0.2 = 20\%$。
答：该企业从 2022 年到 2024 年利润的年平均增长率为 $20\%$。
(2) 根据第一问的年平均增长率 $x = 20\%$，计算 2025 年的利润：
$2025年利润 = 2024年利润 × (1 + 增长率)$
$ = 2.88 × (1 + 20\%) $
$= 2.88 × 1.2 $
$= 3.456 (亿元)$
比较得 $3.456 \lt 3.5$。
答：该企业 2025 年的利润不能超过 3.5 亿元。
根据题意，2022 年利润为 2 亿元，2024 年利润为 2.88 亿元，列出方程：
$2(1 + x)^{2} = 2.88$，
解方程，得到：
$(1 + x)^{2} = 1.44$，
$1+x=\pm1.2$
由于增长率不能为负，舍去$x_2 = -2.2$，
得到$x = 0.2 = 20\%$。
答：该企业从 2022 年到 2024 年利润的年平均增长率为 $20\%$。
(2) 根据第一问的年平均增长率 $x = 20\%$，计算 2025 年的利润：
$2025年利润 = 2024年利润 × (1 + 增长率)$
$ = 2.88 × (1 + 20\%) $
$= 2.88 × 1.2 $
$= 3.456 (亿元)$
比较得 $3.456 \lt 3.5$。
答：该企业 2025 年的利润不能超过 3.5 亿元。
4. 某玩具厂生产一种玩具,据市场调查,每个玩具按 480 元销售,每天可销售 160 个；若销售单价每降低 1 元,每天可多售出 2 个. 已知每个玩具的固定成本为 360 元. 这种玩具的销售单价为多少元时,厂家每天可获利润 20000 元？
答案：设这种玩具的销售单价为$x$元。
每个玩具的利润为$(x - 360)$元。
原销售量为$160$个，单价每降低$1$元，销售量增加$2$个，因此销售量为$[160 + 2(480 - x)]$个。
根据题意，总利润为$20000$元，因此可列方程：
$(x - 360)[160 + 2(480 - x)] = 20000$
展开方程得：
$(x - 360)(160 + 960 - 2x) = 20000$
$(x - 360)(1120 - 2x) = 20000$
$1120x - 2x^2 - 360 × 1120 + 720x = 20000$
$-2x^2 + 1840x - 403200 = 20000$
$-2x^2 + 1840x - 423200 = 0$
$x^2 - 920x + 211600 = 0$
解得：
$x_{1} = x_{2} = 460$
答：这种玩具的销售单价为$460$元时，厂家每天可获利润$20000$元。
每个玩具的利润为$(x - 360)$元。
原销售量为$160$个，单价每降低$1$元，销售量增加$2$个，因此销售量为$[160 + 2(480 - x)]$个。
根据题意，总利润为$20000$元，因此可列方程：
$(x - 360)[160 + 2(480 - x)] = 20000$
展开方程得：
$(x - 360)(160 + 960 - 2x) = 20000$
$(x - 360)(1120 - 2x) = 20000$
$1120x - 2x^2 - 360 × 1120 + 720x = 20000$
$-2x^2 + 1840x - 403200 = 20000$
$-2x^2 + 1840x - 423200 = 0$
$x^2 - 920x + 211600 = 0$
解得：
$x_{1} = x_{2} = 460$
答：这种玩具的销售单价为$460$元时，厂家每天可获利润$20000$元。
1. 某农场要建一个矩形的养鸡场,养鸡场的一面靠墙(墙长为 25 m),另三面用木栅栏围成,木栅栏的总长度为 40 m.
(1) 养鸡场的面积能达到$ 180 m^2$吗？能达到$ 200 m^2$吗？
(2) 养鸡场的面积能达到$ 250 m^2$吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.
(1) 养鸡场的面积能达到$ 180 m^2$吗？能达到$ 200 m^2$吗？
(2) 养鸡场的面积能达到$ 250 m^2$吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.
答案：(1) 设与墙垂直的边长为$x\ m$，则与墙平行的边长为$(40 - 2x)\ m$，面积$S = x(40 - 2x)$。由题意得$40 - 2x ＞ 0$且$40 - 2x \leq 25$，解得$7.5 \leq x ＜ 20$。
当$S = 180$时，$x(40 - 2x) = 180$，即$x^2 - 20x + 90 = 0$，$\Delta = 400 - 360 = 40 ＞ 0$，$x = 10 \pm \sqrt{10}$。$x = 10 + \sqrt{10} \approx 13.16$在$7.5 \leq x ＜ 20$内，能达到$180\ m^2$。
当$S = 200$时，$x(40 - 2x) = 200$，即$(x - 10)^2 = 0$，$x = 10$。此时$40 - 2x = 20 \leq 25$，能达到$200\ m^2$。
(2) 当$S = 250$时，$x(40 - 2x) = 250$，即$x^2 - 20x + 125 = 0$，$\Delta = 400 - 500 = -100 ＜ 0$，方程无实根，不能达到$250\ m^2$。
当$S = 180$时，$x(40 - 2x) = 180$，即$x^2 - 20x + 90 = 0$，$\Delta = 400 - 360 = 40 ＞ 0$，$x = 10 \pm \sqrt{10}$。$x = 10 + \sqrt{10} \approx 13.16$在$7.5 \leq x ＜ 20$内，能达到$180\ m^2$。
当$S = 200$时，$x(40 - 2x) = 200$，即$(x - 10)^2 = 0$，$x = 10$。此时$40 - 2x = 20 \leq 25$，能达到$200\ m^2$。
(2) 当$S = 250$时，$x(40 - 2x) = 250$，即$x^2 - 20x + 125 = 0$，$\Delta = 400 - 500 = -100 ＜ 0$，方程无实根，不能达到$250\ m^2$。
2. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = BC = 12$ cm,$D$、$E$、$F$ 是动点,点 $D$ 从点 $A$ 出发,以 2 cm/s 的速度沿 $AB$ 向点 $B$ 移动,移动过程中始终保持 $DE// BC$,$DF// AC$. 点 $D$ 出发几秒时,四边形 $DFCE$ 的面积为 20 cm^2？
答案：1秒或5秒。
解析：
设点D出发时间为$ t $秒，$ 0 \leq t \leq 6 $。
由题意，$ AD = 2t \, cm $，$ DB = AB - AD = 12 - 2t \, cm $。
方法：面积差法
1. $\triangle ABC$的面积：
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 12 = 72 \, cm^2 $。
2. $\triangle ADE$的面积：
由于$ DE // BC $，$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB} = \frac{2t}{12} = \frac{t}{6}$。
面积比为$\left(\frac{t}{6}\right)^2$，故$ S_{\triangle ADE} = 72 × \left(\frac{t}{6}\right)^2 = 2t^2 $。
3. $\triangle DBF$的面积：
由于$ DF // AC $，$\triangle DBF \sim \triangle ABC$，相似比为$\frac{DB}{AB} = \frac{12 - 2t}{12} = \frac{6 - t}{6}$。
面积比为$\left(\frac{6 - t}{6}\right)^2$，故$ S_{\triangle DBF} = 72 × \left(\frac{6 - t}{6}\right)^2 = 2(6 - t)^2 $。
4. 四边形$ DFCE $的面积：
$ S_{DFCE} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ADE} - S_{\triangle DBF} $
即$ 72 - 2t^2 - 2(6 - t)^2 = 20 $。
解方程
整理得：
$ 72 - 2t^2 - 2(36 - 12t + t^2) = 20 $
$ 72 - 2t^2 - 72 + 24t - 2t^2 = 20 $
$ -4t^2 + 24t = 20 $
$ t^2 - 6t + 5 = 0 $
解得$ t = 1 $或$ t = 5 $。
结论
点D出发1秒或5秒时，四边形$ DFCE $的面积为$ 20 \, cm^2 $。
由题意，$ AD = 2t \, cm $，$ DB = AB - AD = 12 - 2t \, cm $。
方法：面积差法
1. $\triangle ABC$的面积：
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 12 = 72 \, cm^2 $。
2. $\triangle ADE$的面积：
由于$ DE // BC $，$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB} = \frac{2t}{12} = \frac{t}{6}$。
面积比为$\left(\frac{t}{6}\right)^2$，故$ S_{\triangle ADE} = 72 × \left(\frac{t}{6}\right)^2 = 2t^2 $。
3. $\triangle DBF$的面积：
由于$ DF // AC $，$\triangle DBF \sim \triangle ABC$，相似比为$\frac{DB}{AB} = \frac{12 - 2t}{12} = \frac{6 - t}{6}$。
面积比为$\left(\frac{6 - t}{6}\right)^2$，故$ S_{\triangle DBF} = 72 × \left(\frac{6 - t}{6}\right)^2 = 2(6 - t)^2 $。
4. 四边形$ DFCE $的面积：
$ S_{DFCE} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ADE} - S_{\triangle DBF} $
即$ 72 - 2t^2 - 2(6 - t)^2 = 20 $。
解方程
整理得：
$ 72 - 2t^2 - 2(36 - 12t + t^2) = 20 $
$ 72 - 2t^2 - 72 + 24t - 2t^2 = 20 $
$ -4t^2 + 24t = 20 $
$ t^2 - 6t + 5 = 0 $
解得$ t = 1 $或$ t = 5 $。
结论
点D出发1秒或5秒时，四边形$ DFCE $的面积为$ 20 \, cm^2 $。