1. 下列说法中,正确的是(
A.顶点在圆周上的角叫做圆周角
B.圆周角等于圆心角的一半
C.同弧所对的圆周角相等
D.等弦所对的圆周角相等
C
)A.顶点在圆周上的角叫做圆周角
B.圆周角等于圆心角的一半
C.同弧所对的圆周角相等
D.等弦所对的圆周角相等
答案：C
解析：
A. 圆周角的定义是顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，仅仅顶点在圆周上不够，故A错误；
B. 在同弧或等弧所对的圆周角和圆心角中，圆周角等于圆心角的一半，缺少前提条件，故B错误；
C. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，故C正确；
D. 等弦所对的圆周角可能相等也可能互补，故D错误。
B. 在同弧或等弧所对的圆周角和圆心角中，圆周角等于圆心角的一半，缺少前提条件，故B错误；
C. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，故C正确；
D. 等弦所对的圆周角可能相等也可能互补，故D错误。
2. 如图,A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点,∠ABF等于(
A.22.5°
B.30°
C.45°
D.60°
]
B
)A.22.5°
B.30°
C.45°
D.60°
]
答案：B
解析：
连接OA、OF。因为A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，所以每段弧的度数为360°÷6=60°，即弧AF的度数为60°。∠ABF是圆周角，它所对的弧是弧AF，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，所以∠ABF=60°÷2=30°。
3. 如图,在⊙O中,AC//OB,∠BAO= 25°,则∠BOC的度数为(
A.25°
B.50°
C.60°
D.80°
]
B
)A.25°
B.50°
C.60°
D.80°
]
答案：B
解析：
∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠ABO=∠BAO=25°.
∵AC//OB，∴∠CAB=∠ABO=25°，∠CAO=∠BAO+∠CAB=50°.
∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=50°，∠AOC=180°-50°-50°=80°.
∵AC//OB，∴∠BOC=∠ACO=50°.
∵AC//OB，∴∠CAB=∠ABO=25°，∠CAO=∠BAO+∠CAB=50°.
∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=50°，∠AOC=180°-50°-50°=80°.
∵AC//OB，∴∠BOC=∠ACO=50°.
4. 如图,AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到点D,使AD= AB,∠ADB= 35°,求∠BOC的度数。
]
]
答案：设$\angle ABD = x$，
因为$AD = AB$，
所以$\angle ABD = \angle ADB=35^\circ$（等边对等角），
则$\angle BAC =\angle ABD + \angle ADB=70^\circ$（三角形外角等于不相邻两内角和）。
因为$\angle BAC$是圆周角，$\angle BOC$是圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown} {BC}$，
根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，
所以$\angle BOC = 2\angle BAC = 140^{\circ}$。
综上，$\angle BOC$的度数为$140^{\circ}$。
因为$AD = AB$，
所以$\angle ABD = \angle ADB=35^\circ$（等边对等角），
则$\angle BAC =\angle ABD + \angle ADB=70^\circ$（三角形外角等于不相邻两内角和）。
因为$\angle BAC$是圆周角，$\angle BOC$是圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown} {BC}$，
根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，
所以$\angle BOC = 2\angle BAC = 140^{\circ}$。
综上，$\angle BOC$的度数为$140^{\circ}$。
1. 如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD= 40°,则∠FCD=
]
20°
。]
答案：20°
解析：
∵CD是⊙O的直径，G是EF的中点，∴CD⊥EF，$\widehat{ED}=\widehat{FD}$（垂径定理）。∵∠EOD=40°，∴∠FOD=∠EOD=40°。∴∠COD=180°，∠COF=∠COD - ∠FOD=180° - 40°=140°。∵OC=OF（半径相等），∴∠FCD=∠OFC。在△COF中，∠FCD + ∠OFC + ∠COF=180°，即2∠FCD + 140°=180°，解得∠FCD=20°。
2. 如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB= 45°,则四边形MANB面积的最大值是______
]
4√2
。]
答案：4√2
解析：
连接OA、OB，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°（圆周角定理）。在Rt△AOB中，OA=OB=2，∴AB=√(OA²+OB²)=√(2²+2²)=2√2。
四边形MANB面积S=S△MAB+S△NAB=(1/2)AB·h₁+(1/2)AB·h₂=(1/2)AB(h₁+h₂)，其中h₁、h₂分别为M、N到AB的距离。
圆心O到AB的距离d=√(OA²-(AB/2)²)=√(4-2)=√2。M、N在AB异侧，h₁最大值为d+2=√2+2，h₂最大值为2-d=2-√2（h₂=|y_N|=2-d）。
h₁+h₂最大值=(√2+2)+(2-√2)=4。∴S最大值=(1/2)×2√2×4=4√2。
四边形MANB面积S=S△MAB+S△NAB=(1/2)AB·h₁+(1/2)AB·h₂=(1/2)AB(h₁+h₂)，其中h₁、h₂分别为M、N到AB的距离。
圆心O到AB的距离d=√(OA²-(AB/2)²)=√(4-2)=√2。M、N在AB异侧，h₁最大值为d+2=√2+2，h₂最大值为2-d=2-√2（h₂=|y_N|=2-d）。
h₁+h₂最大值=(√2+2)+(2-√2)=4。∴S最大值=(1/2)×2√2×4=4√2。
3. 如图,△ABC内接于⊙O,AB= AC,D是⌢AC上一点,连接BD,E是BD上的一点,且BE= CD。求证：∠AED= ∠ADE。
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答案：证明：∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴∠ABC=∠ACB（等弦对等弧，等弧对等圆周角）。
∵∠ABD与∠ACD均为弧AD所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD（同弧所对圆周角相等）。
在△ABE和△ACD中，
AB=AC（已知），
∠ABE=∠ACD（已证），
BE=CD（已知），
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
∴AE=AD（全等三角形对应边相等）。
∴∠AED=∠ADE（等边对等角）。
∵∠ABD与∠ACD均为弧AD所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD（同弧所对圆周角相等）。
在△ABE和△ACD中，
AB=AC（已知），
∠ABE=∠ACD（已证），
BE=CD（已知），
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
∴AE=AD（全等三角形对应边相等）。
∴∠AED=∠ADE（等边对等角）。