2. 如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABC = 28°,则∠BDC =
62
°。答案：62
解析：
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∵∠ABC=28°，∴∠BAC=90°-28°=62°。∵∠BDC与∠BAC所对的弧都是弧BC，∴∠BDC=∠BAC=62°。
3. 如图,□ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上,顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上,∠ADC = 70°,连接 AE,则∠AEB 的度数为
20°
。答案：20°
解析：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=70°，
∴∠ABC=∠ADC=70°（平行四边形对角相等）。
∵BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，
∴∠BAE=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵点C在BE上，∴∠ABE=∠ABC=70°。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠ABE=90°-70°=20°。
4. 以 O 为中心点的量角器与含 45°角的三角板 ABC 按如图方式摆放,量角器的零刻度线与斜边 AB 重合。点 D 为斜边 AB 上一点,作射线 CD 交弧 AB 于点 E,如果点 E 所对应的量角器刻度为 52°,那么∠BCD 的度数为(
A.52°
B.60°
C.64°
D.69°
C
)A.52°
B.60°
C.64°
D.69°
答案：C
解析：
连接OE，量角器中心为O，AB为直径，故OA=OB=OE。点E对应刻度52°，即圆心角∠BOE=52°。
弧BE所对圆周角∠BCE=1/2∠BOE=26°（圆周角定理）。
△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°。
∠BCD=∠ACB - ∠BCE=90° - 26°=64°。
弧BE所对圆周角∠BCE=1/2∠BOE=26°（圆周角定理）。
△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°。
∠BCD=∠ACB - ∠BCE=90° - 26°=64°。
5. 如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,延长 BC 到点 D,使 DC = CB,延长 DA,交⊙O 于点 E,连接 AC、CE。
(1)试说明∠B = ∠D；
(2)若 AB = 4,BC - AC = 2,求 CE 的长。
(1)试说明∠B = ∠D；
(2)若 AB = 4,BC - AC = 2,求 CE 的长。
答案：(1)见解析；(2)CE=√7+1。
解析：
(1)∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°(直径所对圆周角是直角)。
∵D在BC延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°。
∵DC=CB，∠ACD=∠ACB=90°，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，∴∠D=∠B。
(2)设AC=x，BC=y，∵BC-AC=2，∴y=x+2。
∵AB是直径，AB=4，∴∠ACB=90°，∴AC²+BC²=AB²，即x²+y²=16。
将y=x+2代入x²+y²=16，得x²+(x+2)²=16，
整理得2x²+4x-12=0，即x²+2x-6=0，
解得x=-1±√7，∵x＞0，∴x=√7-1，
∴y=x+2=√7+1，即BC=√7+1。
∵∠B=∠D(已证)，∠B=∠AEC(同弧AC所对圆周角相等)，
∴∠D=∠AEC=∠DEC，∴CE=CD。
∵DC=CB，∴CE=CB=√7+1。
∵D在BC延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°。
∵DC=CB，∠ACD=∠ACB=90°，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，∴∠D=∠B。
(2)设AC=x，BC=y，∵BC-AC=2，∴y=x+2。
∵AB是直径，AB=4，∴∠ACB=90°，∴AC²+BC²=AB²，即x²+y²=16。
将y=x+2代入x²+y²=16，得x²+(x+2)²=16，
整理得2x²+4x-12=0，即x²+2x-6=0，
解得x=-1±√7，∵x＞0，∴x=√7-1，
∴y=x+2=√7+1，即BC=√7+1。
∵∠B=∠D(已证)，∠B=∠AEC(同弧AC所对圆周角相等)，
∴∠D=∠AEC=∠DEC，∴CE=CD。
∵DC=CB，∴CE=CB=√7+1。
1. 如图,⊙A 的半径为 5,BC、DE 为两条弦。已知 DE = 6,∠BAC + ∠EAD = 180°,则圆心 A 到 BC 的距离等于
3
。答案：3
解析：
过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N，连接AB、AD。
由垂径定理得：BM=CM，DN=EN=DE/2=3。
在Rt△ADN中，AD=5，DN=3，∴AN²=AD²-DN²=5²-3²=16，AN=4。
设∠BAC=α，则∠EAD=180°-α，∠BAM=α/2，∠DAN=(180°-α)/2=90°-α/2。
在Rt△ABM中，cos(α/2)=AM/AB=AM/5；在Rt△ADN中，cos(90°-α/2)=AN/AD=4/5，即sin(α/2)=4/5。
∵sin²(α/2)+cos²(α/2)=1，∴(4/5)²+(AM/5)²=1，解得AM=3。
由垂径定理得：BM=CM，DN=EN=DE/2=3。
在Rt△ADN中，AD=5，DN=3，∴AN²=AD²-DN²=5²-3²=16，AN=4。
设∠BAC=α，则∠EAD=180°-α，∠BAM=α/2，∠DAN=(180°-α)/2=90°-α/2。
在Rt△ABM中，cos(α/2)=AM/AB=AM/5；在Rt△ADN中，cos(90°-α/2)=AN/AD=4/5，即sin(α/2)=4/5。
∵sin²(α/2)+cos²(α/2)=1，∴(4/5)²+(AM/5)²=1，解得AM=3。
2. 如图,在⊙O 中,AB 是直径,BC 是弦,P 是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点。若 AB = 5,BC = 3,则 AP 的长不可能为(
A.3
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
A
)A.3
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案：A
解析：
连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(25-9)=4。∵P是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点，当P与C重合时，AP=AC=4；当P与B重合时，AP=AB=5。∴AP长度范围为4≤AP≤5。选项中3不在此范围，故选A。
3. 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC = 90°,E 为对角线 AC 的中点,连接 BE、ED、BD。若∠BAD = 58°,则∠EBD 的度数为
32°
。答案：32°
解析：
∵∠ABC=∠ADC=90°，E为AC中点，∴BE=AE=DE=AC/2（直角三角形斜边中线等于斜边一半），故A、B、C、D四点共圆，E为圆心，AC为直径。∠BAD=58°，则弧BD所对圆周角为∠BAD=58°，所对圆心角∠BED=2∠BAD=116°。∵BE=DE，∴△BED为等腰三角形，∠EBD=(180°-∠BED)/2=(180°-116°)/2=32°。