① 根据三角形外接圆的定义和性质，每个三角形都有且仅有一个外接圆，因为三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以可以确定唯一的圆经过这三个点，故正确；
② 圆的内接三角形有无数个，因为可以在圆上任意选择三个点作为三角形的顶点，故错误；
③ 根据三角形内切圆的定义和性质，每个三角形都有且仅有一个内切圆，该圆与三角形的三边都相切，故正确；
④ 圆的外切三角形也有无数个，因为可以在圆外选择任意三个点，只要满足这三个点与圆相切的条件即可构成外切三角形，故错误。
综上所述，真命题有2个。

连接内切圆圆心与三角形三个顶点，将△ABC分割为三个小三角形，其面积分别为$\frac{1}{2}AB \cdot r$、$\frac{1}{2}BC \cdot r$、$\frac{1}{2}AC \cdot r$。△ABC的面积为这三个小三角形面积之和，即$\frac{1}{2}(AB + BC + AC) \cdot r$。因为△ABC的周长$l = AB + BC + AC$，所以面积为$\frac{1}{2}lr$。

1.当$I$是$\triangle ABC$的内心时：
因为$I$是$\triangle ABC$的内心，则$BI$、$CI$分别是$\angle ABC$、$\angle ACB$的角平分线。
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 72^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A=180 - 72 = 108^{\circ}$。
所以$\angle IBC+\angle ICB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}×108^{\circ}=54^{\circ}$。
在$\triangle BIC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BIC = 180^{\circ}-(\angle IBC+\angle ICB)=180 - 54 = 126^{\circ}$。
2.当$I$是$\triangle ABC$的外心时：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
因为$I$是$\triangle ABC$的外心，所以$\angle BIC$是圆心角，$\angle A$是圆周角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，则$\angle BIC = 2\angle A=2×72^{\circ}=144^{\circ}$。

∵O是△ABC的内心，∴AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，即∠BAD=∠CAD，∠ABO=∠CBO。
∵∠CAD=∠CBD（同弧所对的圆周角相等），∴∠BAD=∠CBD。
∵∠DOB=∠BAD+∠ABO（三角形外角性质），∠DBO=∠CBD+∠CBO，
∴∠DOB=∠DBO，∴DB=DO。