1. 比较方程$(x + 3)^2 = 5和方程x^2 + 6x + 4 = 0$有何异同。
答案：相同点：
1. 均为一元二次方程，未知数最高次数为2。
2. 经整理后，二次项系数均为1，一次项系数均为6，常数项均为4（方程$(x + 3)^2 = 5$展开得$x^2 + 6x + 9 = 5$，即$x^2 + 6x + 4 = 0$）。
不同点：
1. 方程形式不同：$(x + 3)^2 = 5$是完全平方形式，$x^2 + 6x + 4 = 0$是一般形式。
2. 解法便捷性不同：$(x + 3)^2 = 5$可直接用直接开平方法求解，$x^2 + 6x + 4 = 0$需先变形（如配方）再求解。
1. 均为一元二次方程，未知数最高次数为2。
2. 经整理后，二次项系数均为1，一次项系数均为6，常数项均为4（方程$(x + 3)^2 = 5$展开得$x^2 + 6x + 9 = 5$，即$x^2 + 6x + 4 = 0$）。
不同点：
1. 方程形式不同：$(x + 3)^2 = 5$是完全平方形式，$x^2 + 6x + 4 = 0$是一般形式。
2. 解法便捷性不同：$(x + 3)^2 = 5$可直接用直接开平方法求解，$x^2 + 6x + 4 = 0$需先变形（如配方）再求解。
2. 在横线上填上适当的数或式子,使等式成立。
(1)$x^2 - 2x + $
(1)$x^2 - 2x + $
1
$ = (x - $1
$)^2$；答案：(1)$1$，$1$
解析：
本题可根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，对$x^2 - 2x$进行配方。
在$x^2 - 2x$中，$a = x$，$-2ab=-2x$，则$-2xb = -2x$，解得$b = 1$。
根据完全平方公式，$b^2=1^2 = 1$，所以$x^2 - 2x+1=(x - 1)^2$。
在$x^2 - 2x$中，$a = x$，$-2ab=-2x$，则$-2xb = -2x$，解得$b = 1$。
根据完全平方公式，$b^2=1^2 = 1$，所以$x^2 - 2x+1=(x - 1)^2$。
(2)$x^2 + 6x + $
(3)$x^2 - 5x + $
(4)$x^2 + x + $
观察上述各等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系？
9
$ = (x + $3
$)^2$；(3)$x^2 - 5x + $
$\frac{25}{4}$
$ = (x - $$\frac{5}{2}$
$)^2$；(4)$x^2 + x + $
$\frac{1}{4}$
$ = (x + $$\frac{1}{2}$
$)^2$。观察上述各等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系？
常数项等于一次项系数一半的平方。
答案：(2) 9，3；
(3)$\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$；
(4) $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；
常数项等于一次项系数一半的平方。
(3)$\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$；
(4) $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；
常数项等于一次项系数一半的平方。
解析：
(2) 对于 $x^2 + 6x$，为完成平方，需要加上 $(\frac{6}{2})^2 = 9$，即：
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
(3) 对于 $x^2 - 5x$，为完成平方，需要加上 $(\frac{-5}{2})^2 = \frac{25}{4}$，即：
$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = (x - \frac{5}{2})^2$
(4) 对于 $x^2 + x$，为完成平方，需要加上 $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，即：
$x^2 + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^2$
观察上述各等式，可以发现，常数项等于一次项系数一半的平方。
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
(3) 对于 $x^2 - 5x$，为完成平方，需要加上 $(\frac{-5}{2})^2 = \frac{25}{4}$，即：
$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = (x - \frac{5}{2})^2$
(4) 对于 $x^2 + x$，为完成平方，需要加上 $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，即：
$x^2 + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^2$
观察上述各等式，可以发现，常数项等于一次项系数一半的平方。
3. 完成填空：$x^2 + px + $
$\frac{p^{2}}{4}$
$= (x + $$\frac{p}{2}$
$)^2$。答案：$\frac{p^{2}}{4}$，$\frac{p}{2}$
解析：
本题可根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，将$x^{2}+px$转化为完全平方的形式。
对于$x^{2}+px$，在完全平方公式中$a = x$，$2ab = px$，由$2ab = px$，$a = x$，可得$2xb = px$，解得$b=\frac{p}{2}$。
那么$b^{2}=(\frac{p}{2})^{2}=\frac{p^{2}}{4}$，所以$x^{2}+px+\frac{p^{2}}{4}=(x +\frac{p}{2})^{2}$。
对于$x^{2}+px$，在完全平方公式中$a = x$，$2ab = px$，由$2ab = px$，$a = x$，可得$2xb = px$，解得$b=\frac{p}{2}$。
那么$b^{2}=(\frac{p}{2})^{2}=\frac{p^{2}}{4}$，所以$x^{2}+px+\frac{p^{2}}{4}=(x +\frac{p}{2})^{2}$。
用配方法解下列方程：\n(1)$x^2 - 4x + 3 = 0$；\n(2)$x^2 + 3x - 1 = 0$。
答案：(1)移项，得$x^2 - 4x = -3$，配方，得$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$，即$(x - 2)^2 = 1$，开平方，得$x - 2 = ±1$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$。
(2)移项，得$x^2 + 3x = 1$，配方，得$x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 = 1 + (\frac{3}{2})^2$，即$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$，开平方，得$x + \frac{3}{2} = ±\frac{\sqrt{13}}{2}$，解得$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$。
(2)移项，得$x^2 + 3x = 1$，配方，得$x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 = 1 + (\frac{3}{2})^2$，即$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$，开平方，得$x + \frac{3}{2} = ±\frac{\sqrt{13}}{2}$，解得$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$。
1. 课本中的“数学实验室”用拼图的方法直观地表示出解一元二次方程的过程。请你尝试用这种方法解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$。
答案：1. 将方程变形为$x^2 - 2x = 3$；
2. 把$x^2$看作边长为$x$的正方形，面积为$x^2$；$-2x$看作从正方形两边各减去一个长$x$、宽1的矩形，剩余面积为$x^2 - 2x = 3$；
3. 补一个边长为1的小正方形（面积1），使左边成边长$(x - 1)$的正方形，此时总面积为$(x - 1)^2$；
4. 右边面积为$3 + 1 = 4$，即$(x - 1)^2 = 4$；
5. 开平方得$x - 1 = ±2$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
结论：方程的解为$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
2. 把$x^2$看作边长为$x$的正方形，面积为$x^2$；$-2x$看作从正方形两边各减去一个长$x$、宽1的矩形，剩余面积为$x^2 - 2x = 3$；
3. 补一个边长为1的小正方形（面积1），使左边成边长$(x - 1)$的正方形，此时总面积为$(x - 1)^2$；
4. 右边面积为$3 + 1 = 4$，即$(x - 1)^2 = 4$；
5. 开平方得$x - 1 = ±2$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
结论：方程的解为$x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
2. 想一想：该如何配方？你能总结出用配方法解方程的一般步骤吗？
答案：对于配方法解一元二次方程的一般步骤如下：
1. 二次项系数化为1：若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1。
例如，对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，方程两边同时除以$a$，得到$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$。
2. 移项：将常数项移到等号右边。
由$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，移项可得$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。
3. 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方。
一次项系数为$\frac{b}{a}$，其一半的平方为$(\frac{b}{2a})^{2}$，则$x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$，即$(x + \frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。
4. 解方程：
当$b^{2}-4ac\geq0$时，$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
则$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
当$b^{2}-4ac＜0$时，方程无实数解。
综上，用配方法解一元二次方程的一般步骤为：二次项系数化为1、移项、配方、根据判别式求解方程。
1. 二次项系数化为1：若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1。
例如，对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，方程两边同时除以$a$，得到$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$。
2. 移项：将常数项移到等号右边。
由$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，移项可得$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。
3. 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方。
一次项系数为$\frac{b}{a}$，其一半的平方为$(\frac{b}{2a})^{2}$，则$x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$，即$(x + \frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。
4. 解方程：
当$b^{2}-4ac\geq0$时，$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
则$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
当$b^{2}-4ac＜0$时，方程无实数解。
综上，用配方法解一元二次方程的一般步骤为：二次项系数化为1、移项、配方、根据判别式求解方程。