1. 选择题：
- (1)用配方法解一元二次方程$x^2 - 4x = 5$的过程中,配方正确的是(
- (1)用配方法解一元二次方程$x^2 - 4x = 5$的过程中,配方正确的是(
C
)\nA.$x^2 - 4x + 16 = 5 + 16$\nB.$x^2 - 4x - 16 = 5 - 16$\nC.$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$\nD.$x^2 - 4x - 4 = 5 - 4$\n(2)用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 5 = 0$时,原方程应变形为(B
)\nA.$(x + 1)^2 = 6$\nB.$(x - 1)^2 = 6$\nC.$(x + 2)^2 = 9$\nD.$(x - 2)^2 = 9$答案：(1) C
(2) B
(2) B
解析：
(1) 对方程$x^2 - 4x = 5$进行配方，需要将左边变为完全平方形式。
为了完成平方，需要加上和减去一次项系数一半的平方，即$(-4/2)^2 = 4$。
所以，方程两边同时加4，得到：
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$。
这与选项C相匹配。
(2) 对方程$x^2 - 2x - 5 = 0$进行配方，同样需要将左边变为完全平方形式。
一次项系数的一半是$-2/2 = -1$，其平方是1。
方程两边同时加1和5，得到：
$x^2 - 2x + 1 = 6$。
这可以写为：
$(x - 1)^2 = 6$
这与选项B相匹配。
为了完成平方，需要加上和减去一次项系数一半的平方，即$(-4/2)^2 = 4$。
所以，方程两边同时加4，得到：
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$。
这与选项C相匹配。
(2) 对方程$x^2 - 2x - 5 = 0$进行配方，同样需要将左边变为完全平方形式。
一次项系数的一半是$-2/2 = -1$，其平方是1。
方程两边同时加1和5，得到：
$x^2 - 2x + 1 = 6$。
这可以写为：
$(x - 1)^2 = 6$
这与选项B相匹配。
2. 在横线上填上适当的数或式子,使等式成立。
(1)$x^2 + 6x + $
(2)$x^2 - 3x + $
(3)$x^2 - \frac{2}{3}x + $
(4)$x^2 - 6\sqrt{2}x + $
(1)$x^2 + 6x + $
9
$ = (x + $3
$)^2$；(2)$x^2 - 3x + $
$\frac{9}{4}$
$ = (x - $$\frac{3}{2}$
$)^2$；(3)$x^2 - \frac{2}{3}x + $
$\frac{1}{9}$
$ = (x - $$\frac{1}{3}$
$)^2$；(4)$x^2 - 6\sqrt{2}x + $
18
$ = (x - $$3\sqrt{2}$
$)^2$。答案：(1) $9$，$3$；
(2) $\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$；
(3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$；
(4) $18$，$3\sqrt{2}$。
(2) $\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$；
(3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$；
(4) $18$，$3\sqrt{2}$。
解析：
(1) 对于 $x^2 + 6x$，要使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{6}{2})^2 = 9$，同时为了保持等式平衡，右边应为 $(x + 3)^2$，所以横线上应填 $9$ 和 $3$。
(2) 对于 $x^2 - 3x$，要使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，同时为了保持等式平衡，右边应为 $(x - \frac{3}{2})^2$，所以横线上应填 $\frac{9}{4}$ 和 $\frac{3}{2}$。
(3) 对于 $x^2 - \frac{2}{3}x$，要使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，同时为了保持等式平衡，右边应为 $(x - \frac{1}{3})^2$，所以横线上应填 $\frac{1}{9}$ 和 $\frac{1}{3}$。
(4) 对于 $x^2 - 6\sqrt{2}x$，要使其成为完全平方，需要加上 $(3\sqrt{2})^2 = 18$，同时为了保持等式平衡，右边应为 $(x - 3\sqrt{2})^2$，所以横线上应填 $18$ 和 $3\sqrt{2}$。
(2) 对于 $x^2 - 3x$，要使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，同时为了保持等式平衡，右边应为 $(x - \frac{3}{2})^2$，所以横线上应填 $\frac{9}{4}$ 和 $\frac{3}{2}$。
(3) 对于 $x^2 - \frac{2}{3}x$，要使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，同时为了保持等式平衡，右边应为 $(x - \frac{1}{3})^2$，所以横线上应填 $\frac{1}{9}$ 和 $\frac{1}{3}$。
(4) 对于 $x^2 - 6\sqrt{2}x$，要使其成为完全平方，需要加上 $(3\sqrt{2})^2 = 18$，同时为了保持等式平衡，右边应为 $(x - 3\sqrt{2})^2$，所以横线上应填 $18$ 和 $3\sqrt{2}$。
3. 用配方法解下列方程：\n(1)$x^2 + 8x - 2 = 0$；
- (2)$x^2 - 5x + 6 = 0$；
- (3)$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$；\n(4)$x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0$。
- (2)$x^2 - 5x + 6 = 0$；
- (3)$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$；\n(4)$x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0$。
答案：(1)$x_1 = -4 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = -4 - 3\sqrt{2}$；(2)$x_1 = 3$，$x_2 = 2$；(3)$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -2$；(4)$x_1 = 2 - \sqrt{3}$，$x_2 = -2 - \sqrt{3}$
解析：
(1)移项得$x^2 + 8x = 2$，配方得$x^2 + 8x + 16 = 2 + 16$，即$(x + 4)^2 = 18$，开方得$x + 4 = ±3\sqrt{2}$，解得$x_1 = -4 + 3\sqrt{2}$，$x_2 = -4 - 3\sqrt{2}$；
(2)移项得$x^2 - 5x = -6$，配方得$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}$，即$(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4}$，开方得$x - \frac{5}{2} = ±\frac{1}{2}$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 2$；
(3)移项得$x^2 + \frac{3}{2}x = 1$，配方得$x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}$，即$(x + \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$，开方得$x + \frac{3}{4} = ±\frac{5}{4}$，解得$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -2$；
(4)移项得$x^2 + 2\sqrt{3}x = 1$，配方得$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 1 + 3$，即$(x + \sqrt{3})^2 = 4$，开方得$x + \sqrt{3} = ±2$，解得$x_1 = 2 - \sqrt{3}$，$x_2 = -2 - \sqrt{3}$。
(2)移项得$x^2 - 5x = -6$，配方得$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}$，即$(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4}$，开方得$x - \frac{5}{2} = ±\frac{1}{2}$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 2$；
(3)移项得$x^2 + \frac{3}{2}x = 1$，配方得$x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}$，即$(x + \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$，开方得$x + \frac{3}{4} = ±\frac{5}{4}$，解得$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -2$；
(4)移项得$x^2 + 2\sqrt{3}x = 1$，配方得$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 1 + 3$，即$(x + \sqrt{3})^2 = 4$，开方得$x + \sqrt{3} = ±2$，解得$x_1 = 2 - \sqrt{3}$，$x_2 = -2 - \sqrt{3}$。
1. 当$m = $
6或-10
时,关于$x的代数式x^2 + (m + 2)x + 16$是完全平方式。答案：6或-10
解析：
因为代数式$x^2 + (m + 2)x + 16$是完全平方式，所以$x^2 + (m + 2)x + 16=(x\pm4)^2$。展开得$x^2\pm8x + 16$，则$m + 2=\pm8$，解得$m=6$或$m=-10$。
2. “$a^2 \geq 0$”这个结论在数学中非常有用。有时我们需要将代数式配成完全平方式,再利用“$a^2 \geq 0$”解题。例如：$x^2 + 4x + 5 = x^2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)^2 + 1$,$\because (x + 2)^2 + 1 \geq 1$,$\therefore x^2 + 4x + 5 \geq 1$。试运用配方法解决下列问题：
(1)求代数式$x^2 - 4x + 5$的最小值；
(2)已知$x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 = 0$,则$x + y = $
(3)比较代数式$x^2 - 1与2x - 3$的大小。
(1)求代数式$x^2 - 4x + 5$的最小值；
最小值是$1$
(2)已知$x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 = 0$,则$x + y = $
1
；(3)比较代数式$x^2 - 1与2x - 3$的大小。
$x^{2}-1\gt2x - 3$
答案：(1)
$x^{2}-4x + 5=x^{2}-4x+4 + 1=(x - 2)^{2}+1$。
因为$(x - 2)^{2}\geq0$，所以$(x - 2)^{2}+1\geq1$，当$x = 2$时，$x^{2}-4x + 5$取得最小值$1$。
(2)
已知$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5 = 0$，将式子进行配方：
$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5=x^{2}-4x + 4+y^{2}+2y+1=(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=0$。
因为$(x - 2)^{2}\geq0$，$(y + 1)^{2}\geq0$，要使$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=0$，则$x - 2 = 0$且$y + 1 = 0$，解得$x = 2$，$y=-1$。
所以$x + y=2+( - 1)=1$。
(3)
计算$(x^{2}-1)-(2x - 3)=x^{2}-1-2x + 3=x^{2}-2x+2=x^{2}-2x+1+1=(x - 1)^{2}+1$。
因为$(x - 1)^{2}\geq0$，所以$(x - 1)^{2}+1\gt0$，即$(x^{2}-1)-(2x - 3)\gt0$，所以$x^{2}-1\gt2x - 3$。
综上，答案依次为：(1)最小值是$1$；(2)$1$；(3)$x^{2}-1\gt2x - 3$。
$x^{2}-4x + 5=x^{2}-4x+4 + 1=(x - 2)^{2}+1$。
因为$(x - 2)^{2}\geq0$，所以$(x - 2)^{2}+1\geq1$，当$x = 2$时，$x^{2}-4x + 5$取得最小值$1$。
(2)
已知$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5 = 0$，将式子进行配方：
$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5=x^{2}-4x + 4+y^{2}+2y+1=(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=0$。
因为$(x - 2)^{2}\geq0$，$(y + 1)^{2}\geq0$，要使$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=0$，则$x - 2 = 0$且$y + 1 = 0$，解得$x = 2$，$y=-1$。
所以$x + y=2+( - 1)=1$。
(3)
计算$(x^{2}-1)-(2x - 3)=x^{2}-1-2x + 3=x^{2}-2x+2=x^{2}-2x+1+1=(x - 1)^{2}+1$。
因为$(x - 1)^{2}\geq0$，所以$(x - 1)^{2}+1\gt0$，即$(x^{2}-1)-(2x - 3)\gt0$，所以$x^{2}-1\gt2x - 3$。
综上，答案依次为：(1)最小值是$1$；(2)$1$；(3)$x^{2}-1\gt2x - 3$。