2. 一个正多边形绕它的中心旋转 $60^{\circ}$ 和原来的图形重合, 这个正多边形可能是 ______
正六边形（或正三角形）
.答案：正六边形（或正三角形）
解析：
正多边形绕中心旋转重合的最小角度为$\frac{360^{\circ}}{n}$（$n$为边数，$n\geq3$且为整数）。已知旋转$60^{\circ}$重合，则$\frac{360^{\circ}}{n}$为$60^{\circ}$的约数，即$n=\frac{360^{\circ}}{k\cdot60^{\circ}}=\frac{6}{k}$（$k$为正整数）。当$k=1$时，$n=6$；当$k=2$时，$n=3$；当$k=3$时，$n=2$（舍去）。故可能是正三角形或正六边形。
3. 正方形
是
正多边形, 正三角形 ______ 是
正多边形, 菱形 ______ 不是
正多边形. (填“是”或“不是”)答案：是，是，不是
解析：
根据正多边形的定义，正多边形是各边相等，各角也相等的多边形。
正方形四边相等，四个角均为$90^\circ$，满足正多边形的定义，所以正方形是正多边形。
正三角形三条边相等，三个角均为$60^\circ$，满足正多边形的定义，所以正三角形是正多边形。
菱形虽然四边相等，但其角不一定相等，不满足正多边形各角也相等的条件，所以菱形不是正多边形。
正方形四边相等，四个角均为$90^\circ$，满足正多边形的定义，所以正方形是正多边形。
正三角形三条边相等，三个角均为$60^\circ$，满足正多边形的定义，所以正三角形是正多边形。
菱形虽然四边相等，但其角不一定相等，不满足正多边形各角也相等的条件，所以菱形不是正多边形。
4. 如图, $\odot O$ 是正方形 $ABCD$ 与正六边形 $AEFCGH$ 的外接圆.
(1) 正方形 $ABCD$ 与正六边形 $AEFCGH$ 的边长之比为 ______
(1) 正方形 $ABCD$ 与正六边形 $AEFCGH$ 的边长之比为 ______
$\sqrt{2}:1$
.是，$n=12$
答案：(1) 设$\odot O$的半径为$R$。
正六边形$AEFCGH$的边长等于外接圆半径，故其边长$a_6=R$。
正方形$ABCD$的对角线为外接圆直径$2R$，设边长为$a_4$，由勾股定理得$a_4^2+a_4^2=(2R)^2$，解得$a_4=\sqrt{2}R$。
则正方形与正六边形边长之比为$\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
(2) 连接$OA,OB,OE$。
正六边形中心角为$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$，故$\angle AOE=60^\circ$。
正方形中心角为$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$，故$\angle AOB=90^\circ$。
$\angle BOE=\angle AOB-\angle AOE=90^\circ-60^\circ=30^\circ$。
$\because\frac{360^\circ}{30^\circ}=12$，$\therefore BE$是$\odot O$内接正十二边形的一边，$n=12$。
(1)$\sqrt{2}:1$
(2)是，$n=12$
正六边形$AEFCGH$的边长等于外接圆半径，故其边长$a_6=R$。
正方形$ABCD$的对角线为外接圆直径$2R$，设边长为$a_4$，由勾股定理得$a_4^2+a_4^2=(2R)^2$，解得$a_4=\sqrt{2}R$。
则正方形与正六边形边长之比为$\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
(2) 连接$OA,OB,OE$。
正六边形中心角为$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$，故$\angle AOE=60^\circ$。
正方形中心角为$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$，故$\angle AOB=90^\circ$。
$\angle BOE=\angle AOB-\angle AOE=90^\circ-60^\circ=30^\circ$。
$\because\frac{360^\circ}{30^\circ}=12$，$\therefore BE$是$\odot O$内接正十二边形的一边，$n=12$。
(1)$\sqrt{2}:1$
(2)是，$n=12$
1. 已知一个边长为 $3\mathrm{cm}$ 的正方形, 若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形, 则这个圆形纸片的半径最小为
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
.答案：$\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$（或写为$\frac{3}{2}\sqrt{2}cm$，根据题目要求填半径最小值对应的答案形式，若为填空题则直接填数值）由于这里是填空（根据问题描述），直接给数值形式：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（若需要简化成小数等，根据题目具体要求，这里保持根式）
解析：
要使圆形纸片完全盖住边长为$3cm$的正方形，则圆形为正方形的外接圆，其直径应等于正方形的对角线长度。
由勾股定理，正方形的对角线长为：
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} (cm)$
因此，圆形纸片的最小半径为对角线的一半：
$\frac{3\sqrt{2}}{2} cm$
由勾股定理，正方形的对角线长为：
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} (cm)$
因此，圆形纸片的最小半径为对角线的一半：
$\frac{3\sqrt{2}}{2} cm$
2. 把边长为 $12$ 的等边三角形纸板剪去三个全等的小等边三角形, 得到一个正六边形, 则这个正六边形的边长是 (
A.$6$
B.$4$
C.$8$
D.$9$
B
)A.$6$
B.$4$
C.$8$
D.$9$
答案：B
解析：
设正六边形的边长为 $ x $。由于剪去的三个小等边三角形全等，其边长也为 $ x $。原等边三角形边长为12，每条边上被剪去两个小三角形的边和中间正六边形的边，即 $ x + x + x = 12 $，解得 $ x = 4 $。
3. 周长相等的正方形与正六边形的面积分别为 $S_1$、$S_2$, $S_1$ 和 $S_2$ 的关系为 (
A.$S_1 ＜ S_2$
B.$S_1 = S_2$
C.$S_1 ＞ S_2$
D.无法确定
A
)A.$S_1 ＜ S_2$
B.$S_1 = S_2$
C.$S_1 ＞ S_2$
D.无法确定
答案：A
解析：
设正方形和正六边形的周长为$l$。
正方形的边长为$\frac{l}{4}$，其面积$S_1 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$。
正六边形边长为$\frac{l}{6}$，可分割为6个等边三角形，每个三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2$，总面积$S_2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2 = \frac{\sqrt{3} l^2}{24}$。
比较$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{l^2}{16}}{\frac{\sqrt{3} l^2}{24}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$，故$S_1 ＜ S_2$。
正方形的边长为$\frac{l}{4}$，其面积$S_1 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$。
正六边形边长为$\frac{l}{6}$，可分割为6个等边三角形，每个三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2$，总面积$S_2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2 = \frac{\sqrt{3} l^2}{24}$。
比较$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{l^2}{16}}{\frac{\sqrt{3} l^2}{24}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$，故$S_1 ＜ S_2$。
4. 如图, $\triangle ABC$ 是 $\odot O$ 的内接正三角形, 四边形 $DEFG$ 是 $\odot O$ 的内接正方形, $EF // BC$. 由此可知 $\angle AOF$ 为 (
A.$125^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
C
)A.$125^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
答案：C
解析：
连接$OA$，$OC$，$OC$与$EF$交点为$H$。
$\triangle ABC$是$\odot O$内接正三角形，
$\therefore \angle AOC = 120^{\circ}$。
四边形$DEFG$是$\odot O$的内接正方形，
$\therefore \angle EOF = 90^{\circ}$，$OH\bot EF$。
$\because EF// BC$，
$\therefore OH\bot BC$，
$\therefore$点$H$是$BC$中点，
$\therefore \angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF = \angle AOH + \angle HOF = 60^{\circ}+ 45^{\circ}= 135^{\circ}$。
$\triangle ABC$是$\odot O$内接正三角形，
$\therefore \angle AOC = 120^{\circ}$。
四边形$DEFG$是$\odot O$的内接正方形，
$\therefore \angle EOF = 90^{\circ}$，$OH\bot EF$。
$\because EF// BC$，
$\therefore OH\bot BC$，
$\therefore$点$H$是$BC$中点，
$\therefore \angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF = \angle AOH + \angle HOF = 60^{\circ}+ 45^{\circ}= 135^{\circ}$。
5. 如图, $EF$ 是 $\odot O$ 的直径.
(1) 请用直尺和圆规作出 $\odot O$ 的内接正方形 $ABCD$, 要求所作正方形的一组对边 $AD$、$BC$ 分别垂直于 $EF$; (不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 在所作的图中, 连接 $EA$、$EB$, 求出 $\angle EAD$、$\angle EBC$ 的度数.
(1) 请用直尺和圆规作出 $\odot O$ 的内接正方形 $ABCD$, 要求所作正方形的一组对边 $AD$、$BC$ 分别垂直于 $EF$; (不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 在所作的图中, 连接 $EA$、$EB$, 求出 $\angle EAD$、$\angle EBC$ 的度数.
答案：(1) 作图痕迹：以EF为直径，过圆心O作EF的垂直平分线，交圆于两点，再分别过EF上距O点等距的两点作EF的垂线，交圆于A、D和B、C，顺次连接A、B、C、D（保留作图痕迹）。
(2) ∠EAD=22.5°，∠EBC=67.5°。
(2) ∠EAD=22.5°，∠EBC=67.5°。
解析：
(1) 作图痕迹如图所示（此处需实际作图，以EF为直径作圆，作EF的垂直平分线交圆于A、C两点，连接A、B、C、D得正方形ABCD，其中AD、BC垂直于EF）。
(2) 连接OA、OB。
因为四边形ABCD是⊙O的内接正方形，所以∠AOB=90°，OA=OB。
又因为EF是直径，AD⊥EF，所以∠AOE=45°。
在△AOE中，OA=OE，所以∠OAE=∠OEA=(180°-45°)/2=67.5°。
因为AD⊥EF，所以∠OAD=45°，则∠EAD=∠OAE - ∠OAD=67.5° - 45°=22.5°。
同理，∠EBC=22.5°。
∠EAD=22.5°，∠EBC=22.5°