1. 圆周长计算公式为
$C = 2\pi r$（或$C=\pi d$）
。答案：$C = 2\pi r$（或$C=\pi d$）
解析：
圆周长计算公式为$C = 2\pi r$（其中$C$表示圆的周长，$r$表示圆的半径）或$C=\pi d$（其中$d$表示圆的直径）。
2. 你能说一说弧、弧的度数、弧长这三个概念的区别吗？
答案：弧：圆上任意两点间的部分。
弧的度数：弧所对圆心角的度数。
弧长：弧的实际长度，计算公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（$n$为弧的度数，$r$为圆的半径）。
弧的度数：弧所对圆心角的度数。
弧长：弧的实际长度，计算公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（$n$为弧的度数，$r$为圆的半径）。
3. 如图 2 - 27,写出半径为 $ R $ 的圆中,$ 180^\circ $、$ 90^\circ $、$ 60^\circ $、$ 1^\circ $ 的圆心角所对的弧长以及 $ n^\circ $ 的圆心角所对的弧长 $ l $。
答案：根据圆的弧长公式$l = \frac{n\pi R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径）：
当$n = 180$时，$l=\frac{180\pi R}{180}=\pi R$；
当$n = 90$时，$l=\frac{90\pi R}{180}=\frac{1}{2}\pi R$；
当$n = 60$时，$l=\frac{60\pi R}{180}=\frac{1}{3}\pi R$；
当$n = 1$时，$l=\frac{1\pi R}{180}=\frac{\pi R}{180}$；
当圆心角为$n^{\circ}$时，弧长$l=\frac{n\pi R}{180}$。
当$n = 180$时，$l=\frac{180\pi R}{180}=\pi R$；
当$n = 90$时，$l=\frac{90\pi R}{180}=\frac{1}{2}\pi R$；
当$n = 60$时，$l=\frac{60\pi R}{180}=\frac{1}{3}\pi R$；
当$n = 1$时，$l=\frac{1\pi R}{180}=\frac{\pi R}{180}$；
当圆心角为$n^{\circ}$时，弧长$l=\frac{n\pi R}{180}$。
1.
由一条圆弧和经过该圆弧两端的两条半径所围成的图形
是扇形。答案：由一条圆弧和经过该圆弧两端的两条半径所围成的图形
解析：
根据扇形的定义，一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。
2. (1)如果圆的半径为 $ R $,那么圆心角为 $ 1^\circ $ 的扇形面积为
(2)如果扇形的半径为 $ R $,弧长为 $ l $,那么 $ S_{扇形} = $
$\frac{\pi R^{2}}{360}$
；如果圆的半径为 $ R $,那么圆心角为 $ 45^\circ $ 的扇形面积为$\frac{\pi R^{2}}{8}$
；如果圆的半径为 $ R $,那么圆心角为 $ n^\circ $ 的扇形面积为$\frac{n\pi R^{2}}{360}$
。(2)如果扇形的半径为 $ R $,弧长为 $ l $,那么 $ S_{扇形} = $
$\frac{1}{2}Rl$
(写出推导过程)。答案：(1)$\frac{\pi R^{2}}{360}$；$\frac{\pi R^{2}}{8}$；$\frac{n\pi R^{2}}{360}$
(2)$\frac{1}{2}Rl$
(2)$\frac{1}{2}Rl$
解析：
(1)
圆的面积公式为$S = \pi R^{2}$，圆心角为$360^{\circ}$。对于圆心角为$1^{\circ}$的扇形，其面积是圆面积的$\frac{1}{360}$，所以圆心角为$1^{\circ}$的扇形面积$S_1=\frac{\pi R^{2}}{360}$。
圆心角为$45^{\circ}$的扇形面积是圆面积的$\frac{45}{360}$，即$S_2 = \frac{45}{360}\pi R^{2}=\frac{\pi R^{2}}{8}$。
圆心角为$n^{\circ}$的扇形面积是圆面积的$\frac{n}{360}$，所以圆心角为$n^{\circ}$的扇形面积$S_3=\frac{n\pi R^{2}}{360}$。
(2)
已知圆的周长$C = 2\pi R$，设圆心角为$n^{\circ}$，弧长公式为$l=\frac{n\pi R}{180}$，则$n=\frac{180l}{\pi R}$。
由扇形面积公式$S=\frac{n\pi R^{2}}{360}$，把$n = \frac{180l}{\pi R}$代入可得：
$S=\frac{1}{2}Rl$
圆的面积公式为$S = \pi R^{2}$，圆心角为$360^{\circ}$。对于圆心角为$1^{\circ}$的扇形，其面积是圆面积的$\frac{1}{360}$，所以圆心角为$1^{\circ}$的扇形面积$S_1=\frac{\pi R^{2}}{360}$。
圆心角为$45^{\circ}$的扇形面积是圆面积的$\frac{45}{360}$，即$S_2 = \frac{45}{360}\pi R^{2}=\frac{\pi R^{2}}{8}$。
圆心角为$n^{\circ}$的扇形面积是圆面积的$\frac{n}{360}$，所以圆心角为$n^{\circ}$的扇形面积$S_3=\frac{n\pi R^{2}}{360}$。
(2)
已知圆的周长$C = 2\pi R$，设圆心角为$n^{\circ}$，弧长公式为$l=\frac{n\pi R}{180}$，则$n=\frac{180l}{\pi R}$。
由扇形面积公式$S=\frac{n\pi R^{2}}{360}$，把$n = \frac{180l}{\pi R}$代入可得：
$S=\frac{1}{2}Rl$
1. (1)$ 75^\circ $ 的圆心角所对的弧长是 $ \frac{5}{2}\pi $,此弧所在圆的半径是
(2)扇形的圆心角为 $ 50^\circ $,若半径 $ R = 1 $,则 $ S_{扇形} = $
(3)扇形的半径 $ R = 3 $,$ S_{扇形} = 3\pi $,这个扇形的圆心角的度数是
(4)扇形的半径 $ R = 2\,cm $,$ S_{扇形} = \frac{4}{3}\pi\,cm^2 $,这个扇形的弧长 $ l = $
6
；(2)扇形的圆心角为 $ 50^\circ $,若半径 $ R = 1 $,则 $ S_{扇形} = $
$\frac{5\pi}{36}$
；(3)扇形的半径 $ R = 3 $,$ S_{扇形} = 3\pi $,这个扇形的圆心角的度数是
$120^\circ$
；(4)扇形的半径 $ R = 2\,cm $,$ S_{扇形} = \frac{4}{3}\pi\,cm^2 $,这个扇形的弧长 $ l = $
$\frac{4\pi}{3}cm$
。答案：（1）6；（2）$\frac{5\pi}{36}$；（3）$120^\circ$；（4）$\frac{4\pi}{3}cm$。
解析：
(1)设圆的半径为$r$，根据弧长公式，弧长$l=\frac{n\pi r}{180}$，其中$n$是圆心角的度数。
由题意知，$n = 75^\circ$，弧长$l = \frac{5}{2}\pi$，代入公式得：$\frac{5}{2}\pi=\frac{75\pi r}{180}$，
解这个方程，得到：$r = 6$。
(2)根据扇形面积公式，扇形面积$S_{扇形}=\frac{n\pi R^2}{360}$，其中$n$是圆心角的度数，$R$是半径。
由题意知，$n = 50^\circ$，$R = 1$，代入公式得：$S_{扇形}=\frac{50\pi × 1^2}{360} = \frac{5\pi}{36}$。
(3)根据扇形面积公式，扇形面积$S_{扇形}=\frac{n\pi R^2}{360}$，其中$n$是圆心角的度数，$R$是半径。
由题意知，$R = 3$，$S_{扇形} = 3\pi$，代入公式得：$3\pi=\frac{n\pi × 3^2}{360}$，
解这个方程，得到$n = 120^\circ$。
(4)根据扇形面积公式，扇形面积还可以表示为$S_{扇形} = \frac{1}{2}lR$，其中$l$是弧长，$R$是半径。
由题意知，$R = 2$，$S_{扇形} = \frac{4}{3}\pi$，代入公式得：$\frac{4}{3}\pi=\frac{1}{2} × l × 2$，
解这个方程，得到$l = \frac{4\pi}{3}$。
由题意知，$n = 75^\circ$，弧长$l = \frac{5}{2}\pi$，代入公式得：$\frac{5}{2}\pi=\frac{75\pi r}{180}$，
解这个方程，得到：$r = 6$。
(2)根据扇形面积公式，扇形面积$S_{扇形}=\frac{n\pi R^2}{360}$，其中$n$是圆心角的度数，$R$是半径。
由题意知，$n = 50^\circ$，$R = 1$，代入公式得：$S_{扇形}=\frac{50\pi × 1^2}{360} = \frac{5\pi}{36}$。
(3)根据扇形面积公式，扇形面积$S_{扇形}=\frac{n\pi R^2}{360}$，其中$n$是圆心角的度数，$R$是半径。
由题意知，$R = 3$，$S_{扇形} = 3\pi$，代入公式得：$3\pi=\frac{n\pi × 3^2}{360}$，
解这个方程，得到$n = 120^\circ$。
(4)根据扇形面积公式，扇形面积还可以表示为$S_{扇形} = \frac{1}{2}lR$，其中$l$是弧长，$R$是半径。
由题意知，$R = 2$，$S_{扇形} = \frac{4}{3}\pi$，代入公式得：$\frac{4}{3}\pi=\frac{1}{2} × l × 2$，
解这个方程，得到$l = \frac{4\pi}{3}$。
2. 如图,将长为 $ 8\,cm $ 的铁丝 $ AB $ 首尾相接围成半径为 $ 2\,cm $ 的扇形,则 $ S_{扇形} = $
4
$cm^2 $。答案：$4$
解析：
设扇形的半径为$r$，弧长为$l$，扇形的面积为$S$。
已知铁丝$AB$的长度为扇形的弧长加上两个半径的长度，即$l + 2r = 8cm$，且$r = 2cm$。
将$r = 2cm$代入$l + 2r = 8cm$，可得$l + 2×2 = 8$，
解得$l = 8 - 4 = 4cm$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，把$l = 4cm$，$r = 2cm$代入可得：
$S=\frac{1}{2}×4×2 = 4cm^{2}$。
已知铁丝$AB$的长度为扇形的弧长加上两个半径的长度，即$l + 2r = 8cm$，且$r = 2cm$。
将$r = 2cm$代入$l + 2r = 8cm$，可得$l + 2×2 = 8$，
解得$l = 8 - 4 = 4cm$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，把$l = 4cm$，$r = 2cm$代入可得：
$S=\frac{1}{2}×4×2 = 4cm^{2}$。
3. 如图,扇形 $ AOB $ 中,半径 $ OA = 2 $,$ \angle AOB = 120^\circ $,$ C $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点,连接 $ AC $、$ BC $,则图中阴影部分的面积是(
A.$ \frac{4\pi}{3} - 2\sqrt{3} $
B.$ \frac{2\pi}{3} - 2\sqrt{3} $
C.$ \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} $
D.$ \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3} $
A
)A.$ \frac{4\pi}{3} - 2\sqrt{3} $
B.$ \frac{2\pi}{3} - 2\sqrt{3} $
C.$ \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} $
D.$ \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3} $
答案：A
解析：
连接OC，∵C是$\overset{\frown}{AB}$中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°。
∵OA=OC=OB=2，∴△AOC、△BOC均为等边三角形，边长为2。
扇形AOC面积：$\frac{60\pi×2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$，同理扇形BOC面积为$\frac{2\pi}{3}$，两扇形面积和为$\frac{4\pi}{3}$。
△AOC面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，同理△BOC面积为$\sqrt{3}$，两三角形面积和为$2\sqrt{3}$。
阴影部分面积=两扇形面积和 - 两三角形面积和=$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$。
∵OA=OC=OB=2，∴△AOC、△BOC均为等边三角形，边长为2。
扇形AOC面积：$\frac{60\pi×2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$，同理扇形BOC面积为$\frac{2\pi}{3}$，两扇形面积和为$\frac{4\pi}{3}$。
△AOC面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，同理△BOC面积为$\sqrt{3}$，两三角形面积和为$2\sqrt{3}$。
阴影部分面积=两扇形面积和 - 两三角形面积和=$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$。