4. 如图,$ \triangle ABC $ 是正三角形,曲线 $ CDEF $ 叫做正三角形的渐开线,其中 $ \overset{\frown}{CD} $、$ \overset{\frown}{DE} $、$ \overset{\frown}{EF} $ 的圆心依次是点 $ A $、$ B $、$ C $,如果 $ AB = 1 $,求曲线 $ CDEF $ 的长。
答案：解：
1. 弧$\overset{\frown}{CD}$的计算
圆心为点$A$，半径$r_1 = AC = AB = 1$（$\triangle ABC$为正三角形）。
圆心角$\angle CAD = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_1 = \frac{120\pi × 1}{180} = \frac{2\pi}{3}$。
2. 弧$\overset{\frown}{DE}$的计算
圆心为点$B$，半径$r_2 = BD = BA + AD = 1 + 1 = 2$（$AD = AC = 1$）。
圆心角$\angle DBE = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_2 = \frac{120\pi × 2}{180} = \frac{4\pi}{3}$。
3. 弧$\overset{\frown}{EF}$的计算
圆心为点$C$，半径$r_3 = CE = CB + BE = 1 + 2 = 3$（$BE = BD = 2$）。
圆心角$\angle ECF = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_3 = \frac{120\pi × 3}{180} = 2\pi$。
4. 曲线$CDEF$的总长
$l = l_1 + l_2 + l_3 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi = 4\pi$。
结论： 曲线$CDEF$的长为$4\pi$。
1. 弧$\overset{\frown}{CD}$的计算
圆心为点$A$，半径$r_1 = AC = AB = 1$（$\triangle ABC$为正三角形）。
圆心角$\angle CAD = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_1 = \frac{120\pi × 1}{180} = \frac{2\pi}{3}$。
2. 弧$\overset{\frown}{DE}$的计算
圆心为点$B$，半径$r_2 = BD = BA + AD = 1 + 1 = 2$（$AD = AC = 1$）。
圆心角$\angle DBE = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_2 = \frac{120\pi × 2}{180} = \frac{4\pi}{3}$。
3. 弧$\overset{\frown}{EF}$的计算
圆心为点$C$，半径$r_3 = CE = CB + BE = 1 + 2 = 3$（$BE = BD = 2$）。
圆心角$\angle ECF = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_3 = \frac{120\pi × 3}{180} = 2\pi$。
4. 曲线$CDEF$的总长
$l = l_1 + l_2 + l_3 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi = 4\pi$。
结论： 曲线$CDEF$的长为$4\pi$。
1. 如图,将边长为 $ 1\,cm $ 的等边三角形 $ ABC $ 沿直线 $ l $ 向右翻动(不滑动),点 $ B $ 从开始到再次落在直线 $ l $ 上,所经过路径的长度为(
A.$ \frac{3}{2}\pi\,cm $
B.$ \left(2 + \frac{2}{3}\pi\right)cm $
C.$ \frac{4}{3}\pi\,cm $
D.$ 3\,cm $
C
)A.$ \frac{3}{2}\pi\,cm $
B.$ \left(2 + \frac{2}{3}\pi\right)cm $
C.$ \frac{4}{3}\pi\,cm $
D.$ 3\,cm $
答案：C
解析：
等边三角形边长为1cm，每个内角60°。点B从开始到再次落在直线l上，需经历两次旋转：
1. 第一次绕点C旋转，半径CB=1cm，圆心角120°（等边三角形内角60°，旋转至A落在直线l上，旋转角=180°-60°=120°），弧长$l_1=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}\,cm$；
2. 第二次绕点A（第一次旋转后与直线l接触的点）旋转，半径=1cm，圆心角120°，弧长$l_2=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}\,cm$。
总路径长度$l=l_1+l_2=\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\,cm$。
1. 第一次绕点C旋转，半径CB=1cm，圆心角120°（等边三角形内角60°，旋转至A落在直线l上，旋转角=180°-60°=120°），弧长$l_1=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}\,cm$；
2. 第二次绕点A（第一次旋转后与直线l接触的点）旋转，半径=1cm，圆心角120°，弧长$l_2=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}\,cm$。
总路径长度$l=l_1+l_2=\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\,cm$。
2. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ AC = BC $,以点 $ A $ 为圆心画 $ \overset{\frown}{DF} $,交 $ AB $ 于点 $ D $,交 $ AC $ 延长线于点 $ F $,交 $ BC $ 于点 $ E $,若图中两个阴影部分的面积相等,则 $ AC : AF = $
$\sqrt{π}:2$
。答案：$\sqrt{π}:2$
解析：
设AC=BC=a，AF=AD=r（半径）。
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$a²。
扇形ADF的圆心角为∠BAC=45°，半径为r，
∴S扇形ADF=$\frac{45}{360}$πr²=$\frac{1}{8}$πr²。
∵两个阴影部分面积相等，
∴S△ABC=S扇形ADF，即$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{8}$πr²。
化简得：4a²=πr²，$\frac{a²}{r²}$=$\frac{π}{4}$，$\frac{a}{r}$=$\frac{\sqrt{π}}{2}$。
故AC:AF=$\sqrt{π}$:2。
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$a²。
扇形ADF的圆心角为∠BAC=45°，半径为r，
∴S扇形ADF=$\frac{45}{360}$πr²=$\frac{1}{8}$πr²。
∵两个阴影部分面积相等，
∴S△ABC=S扇形ADF，即$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{8}$πr²。
化简得：4a²=πr²，$\frac{a²}{r²}$=$\frac{π}{4}$，$\frac{a}{r}$=$\frac{\sqrt{π}}{2}$。
故AC:AF=$\sqrt{π}$:2。
3. 如图,两个边长为 $ 4 $ 的正五边形(不重叠)有公共顶点 $ O $,以点 $ O $ 为圆心,$ 4 $ 为半径作弧,构成一个“蘑菇”形图案(阴影部分),则这个“蘑菇”形图案的面积为(
A.$ \frac{24}{5}\pi $
B.$ \frac{28}{5}\pi $
C.$ \frac{32}{5}\pi $
D.$ \frac{36}{5}\pi $
C
)A.$ \frac{24}{5}\pi $
B.$ \frac{28}{5}\pi $
C.$ \frac{32}{5}\pi $
D.$ \frac{36}{5}\pi $
答案：C
解析：
正五边形每个内角为$(5-2)×180^\circ/5=108^\circ$，每个外角为$180^\circ-108^\circ=72^\circ$。两正五边形公共顶点$O$，以$O$为圆心、4为半径作弧，阴影“蘑菇”形由两个圆心角为外角$72^\circ$的扇形组成。每个扇形面积为$\frac{72^\circ}{360^\circ}×\pi×4^2=\frac{1}{5}×16\pi=\frac{16}{5}\pi$，总面积为$2×\frac{16}{5}\pi=\frac{32}{5}\pi$。
4. 如图,在平面直角坐标系中,$ \odot P $ 与 $ x $ 轴相切于点 $ O $,点 $ P $ 的坐标为 $ (0, 1) $,点 $ A $ 在 $ \odot P $ 上,且在第一象限,$ \angle APO = 120^\circ $。$ \odot P $ 沿 $ x $ 轴正方向滚动,当点 $ A $ 第一次落在 $ x $ 轴上时,求点 $ A $ 的坐标。(结果保留 $ \pi $)
答案：$\boxed{(\dfrac{2\pi}{3},0)}$
解析：
解：
1. 确定圆的半径：
因$\odot P$与$x$轴相切于点$O$，圆心$P(0,1)$，故半径$r=1$。
2. 初始位置分析：
点$A$在$\odot P$上，$PA=PO=1$，$\angle APO=120^\circ$。在初始坐标系中，点$A$相对于圆心$P$的局部坐标为$(\cos\theta,\sin\theta)$，其中$\theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}$（由向量计算得，过程略），即局部坐标$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
3. 滚动过程分析：
$\odot P$沿$x$轴正方向无滑动滚动，设滚动角度为$\alpha$（弧度），圆心移动距离$t=r\alpha=\alpha$。点$A$落在$x$轴上时，其纵坐标为$0$，即相对于圆心的局部纵坐标为$-1$（圆心纵坐标为$1$），故$\sin(\theta-\alpha)=-1$。
4. 求解滚动角度：
由$\sin(\theta-\alpha)=-1$，得$\theta-\alpha=-\frac{\pi}{2}$。初始$\theta=\frac{\pi}{6}$，则$\alpha=\theta+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3}$。
5. 确定点$A$坐标：
圆心移动距离$t=\alpha=\frac{2\pi}{3}$，此时圆心坐标为$(\frac{2\pi}{3},1)$。点$A$相对于圆心的局部坐标为$(0,-1)$，故点$A$的绝对坐标为$(\frac{2\pi}{3}+0,1+(-1))=(\frac{2\pi}{3},0)$。
1. 确定圆的半径：
因$\odot P$与$x$轴相切于点$O$，圆心$P(0,1)$，故半径$r=1$。
2. 初始位置分析：
点$A$在$\odot P$上，$PA=PO=1$，$\angle APO=120^\circ$。在初始坐标系中，点$A$相对于圆心$P$的局部坐标为$(\cos\theta,\sin\theta)$，其中$\theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}$（由向量计算得，过程略），即局部坐标$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
3. 滚动过程分析：
$\odot P$沿$x$轴正方向无滑动滚动，设滚动角度为$\alpha$（弧度），圆心移动距离$t=r\alpha=\alpha$。点$A$落在$x$轴上时，其纵坐标为$0$，即相对于圆心的局部纵坐标为$-1$（圆心纵坐标为$1$），故$\sin(\theta-\alpha)=-1$。
4. 求解滚动角度：
由$\sin(\theta-\alpha)=-1$，得$\theta-\alpha=-\frac{\pi}{2}$。初始$\theta=\frac{\pi}{6}$，则$\alpha=\theta+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3}$。
5. 确定点$A$坐标：
圆心移动距离$t=\alpha=\frac{2\pi}{3}$，此时圆心坐标为$(\frac{2\pi}{3},1)$。点$A$相对于圆心的局部坐标为$(0,-1)$，故点$A$的绝对坐标为$(\frac{2\pi}{3}+0,1+(-1))=(\frac{2\pi}{3},0)$。