4. 已知一组数据 1,1,4,4,7,7.
(1)请你估算这组数据的平均数、方差.
(2)用计算器计算这组数据的平均数、方差,并与你的估计值进行比较. 你的估计是否有误差？
(1)请你估算这组数据的平均数、方差.
(2)用计算器计算这组数据的平均数、方差,并与你的估计值进行比较. 你的估计是否有误差？
答案：(1) 估算：
平均数：数据对称分布，中间值为 4，估计平均数为 4。
方差：各数据与 4 差值为 -3,-3,0,0,3,3，估计方差约为 6。
(2) 计算器计算：
平均数：$\frac{1+1+4+4+7+7}{6} = 4$
方差：$\frac{1}{6}[(1-4)^2+(1-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(7-4)^2+(7-4)^2] = 6$
比较：估计值与计算值一致，无误差。
平均数：数据对称分布，中间值为 4，估计平均数为 4。
方差：各数据与 4 差值为 -3,-3,0,0,3,3，估计方差约为 6。
(2) 计算器计算：
平均数：$\frac{1+1+4+4+7+7}{6} = 4$
方差：$\frac{1}{6}[(1-4)^2+(1-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(7-4)^2+(7-4)^2] = 6$
比较：估计值与计算值一致，无误差。
5. 某农科所在 8 个试验点对甲、乙两种玉米进行种植对比试验,这两种玉米在各试验点的亩产量(1 亩$≈666.7 m^2)$如下(单位：kg)：
甲：450,460,450,430,450,460,440,460；
乙：440,470,460,440,430,450,470,440.
分别计算甲、乙两组数据的方差,并说明在这 8 个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定(可以借助计算器).
甲：450,460,450,430,450,460,440,460；
乙：440,470,460,440,430,450,470,440.
分别计算甲、乙两组数据的方差,并说明在这 8 个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定(可以借助计算器).
答案：甲种玉米：
数据：$450, 460, 450, 430, 450, 460, 440, 460$，
平均数：
$\bar{x}_{甲} = \frac{1}{8} × (450 + 460 + 450 + 430 + 450 + 460 + 440 + 460) = 450$，
方差：
$s_{甲}^{2} = \frac{1}{8} × [(450 - 450)^{2} × 3 + (460 - 450)^{2} × 3 + (430 - 450)^{2} + (440 - 450)^{2}] = 100$。
乙种玉米：
数据：$440, 470, 460, 440, 430, 450, 470, 440$，
平均数：
$\bar{x}_{乙} = \frac{1}{8} × (440 + 470 + 460 + 440 + 430 + 450 + 470 + 440) = 450$，
方差：
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{8} × [(440 - 450)^{2} × 4 + (470 - 450)^{2} × 2 + (430 - 450)^{2} + (450 - 450)^{2} +(460-450)^2] = 200$，
因为 $s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，所以甲种玉米的产量比较稳定。
数据：$450, 460, 450, 430, 450, 460, 440, 460$，
平均数：
$\bar{x}_{甲} = \frac{1}{8} × (450 + 460 + 450 + 430 + 450 + 460 + 440 + 460) = 450$，
方差：
$s_{甲}^{2} = \frac{1}{8} × [(450 - 450)^{2} × 3 + (460 - 450)^{2} × 3 + (430 - 450)^{2} + (440 - 450)^{2}] = 100$。
乙种玉米：
数据：$440, 470, 460, 440, 430, 450, 470, 440$，
平均数：
$\bar{x}_{乙} = \frac{1}{8} × (440 + 470 + 460 + 440 + 430 + 450 + 470 + 440) = 450$，
方差：
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{8} × [(440 - 450)^{2} × 4 + (470 - 450)^{2} × 2 + (430 - 450)^{2} + (450 - 450)^{2} +(460-450)^2] = 200$，
因为 $s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，所以甲种玉米的产量比较稳定。
1. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了 6 次测试,测试成绩如下表(单位：环)：
|运动员|第一次|第二次|第三次|第四次|第五次|第六次|
|甲|10|8|9|8|10|9|
|乙|10|7|10|10|9|8|
(1)根据表中的数据,计算出甲的平均成绩是
(2)分别计算甲、乙 6 次测试成绩的方差.
(3)根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由.
|运动员|第一次|第二次|第三次|第四次|第五次|第六次|
|甲|10|8|9|8|10|9|
|乙|10|7|10|10|9|8|
(1)根据表中的数据,计算出甲的平均成绩是
9
环,乙的平均成绩是9
环.(2)分别计算甲、乙 6 次测试成绩的方差.
甲的方差：$s_{甲}^{2} = \frac{1}{6}×\left[ (10 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} \right] = \frac{1}{6} × (1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0) = \frac{2}{3}$；乙的方差：$s_{乙}^{2} = \frac{1}{6}×\left[ (10 - 9)^{2} + (7 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} \right] = \frac{1}{6} × (1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1) = \frac{4}{3}$
(3)根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由.
推荐甲参加全国比赛更合适，因为甲、乙的平均成绩相同，而$s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，说明甲的成绩更稳定，所以推荐甲参加比赛更合适。
答案：（1）甲的平均成绩：$\bar{x}_{甲} = \frac{10 + 8 + 9 + 8 + 10 + 9}{6} = 9$（环），
乙的平均成绩：$\bar{x}_{乙} = \frac{10 + 7 + 10 + 10 + 9 + 8}{6} = 9$（环），
故答案为：9；9；
（2）甲的方差：
$s_{甲}^{2} = \frac{1}{6}×\left[ (10 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} \right]$
$ = \frac{1}{6} × (1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0)$
$ = \frac{2}{3}$
乙的方差：
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{6}×\left[ (10 - 9)^{2} + (7 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} \right] $
$= \frac{1}{6} × (1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1)$
$ = \frac{4}{3}$
（3）推荐甲参加全国比赛更合适，
因为甲，乙的平均成绩相同，而$s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，说明甲的成绩更稳定，所以推荐甲参加比赛更合适。
乙的平均成绩：$\bar{x}_{乙} = \frac{10 + 7 + 10 + 10 + 9 + 8}{6} = 9$（环），
故答案为：9；9；
（2）甲的方差：
$s_{甲}^{2} = \frac{1}{6}×\left[ (10 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} \right]$
$ = \frac{1}{6} × (1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0)$
$ = \frac{2}{3}$
乙的方差：
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{6}×\left[ (10 - 9)^{2} + (7 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (10 - 9)^{2} + (9 - 9)^{2} + (8 - 9)^{2} \right] $
$= \frac{1}{6} × (1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1)$
$ = \frac{4}{3}$
（3）推荐甲参加全国比赛更合适，
因为甲，乙的平均成绩相同，而$s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，说明甲的成绩更稳定，所以推荐甲参加比赛更合适。
2. 甲、乙两名同学进行射击训练,在相同条件下各打靶 5 次,成绩统计如下表：
|成绩/环|7|8|9|10|
|甲取得相应成绩的次数|2|2|0|1|
|乙取得相应成绩的次数|1|3|1|0|
谁的射击成绩更稳定一些？
|成绩/环|7|8|9|10|
|甲取得相应成绩的次数|2|2|0|1|
|乙取得相应成绩的次数|1|3|1|0|
谁的射击成绩更稳定一些？
答案：乙的射击成绩更稳定。
解析：
甲的成绩分析：
1. 计算平均数：
$\bar{x}_甲 = \frac{7 × 2 + 8 × 2 + 9 × 0 + 10 × 1}{5} = \frac{14 + 16 + 0 + 10}{5} = 8$（环）
2. 计算方差：
$s^2_甲 = \frac{(7-8)^2 × 2 + (8-8)^2 × 2 + (9-8)^2 × 0 + (10-8)^2 × 1}{5} = \frac{2 + 0 + 0 + 4}{5} = 1.2$
乙的成绩分析：
1. 计算平均数：
$\bar{x}_乙 = \frac{7 × 1 + 8 × 3 + 9 × 1 + 10 × 0}{5} = \frac{7 + 24 + 9 + 0}{5} = 8$（环）
2. 计算方差：
$s^2_乙 = \frac{(7-8)^2 × 1 + (8-8)^2 × 3 + (9-8)^2 × 1 + (10-8)^2 × 0}{5} = \frac{1 + 0 + 1 + 0}{5} = 0.4$
结论：
因为 $s^2_乙 = 0.4 ＜ s^2_甲 = 1.2$，所以乙的射击成绩更稳定。
1. 计算平均数：
$\bar{x}_甲 = \frac{7 × 2 + 8 × 2 + 9 × 0 + 10 × 1}{5} = \frac{14 + 16 + 0 + 10}{5} = 8$（环）
2. 计算方差：
$s^2_甲 = \frac{(7-8)^2 × 2 + (8-8)^2 × 2 + (9-8)^2 × 0 + (10-8)^2 × 1}{5} = \frac{2 + 0 + 0 + 4}{5} = 1.2$
乙的成绩分析：
1. 计算平均数：
$\bar{x}_乙 = \frac{7 × 1 + 8 × 3 + 9 × 1 + 10 × 0}{5} = \frac{7 + 24 + 9 + 0}{5} = 8$（环）
2. 计算方差：
$s^2_乙 = \frac{(7-8)^2 × 1 + (8-8)^2 × 3 + (9-8)^2 × 1 + (10-8)^2 × 0}{5} = \frac{1 + 0 + 1 + 0}{5} = 0.4$
结论：
因为 $s^2_乙 = 0.4 ＜ s^2_甲 = 1.2$，所以乙的射击成绩更稳定。