4. 约分：
(1)$\frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{2} - 9}$；(2)$\frac{-125ab^{2}c}{15a^{2}bc}$；(3)$\frac{x^{2} - 4x}{16 - x^{2}}$。
(1)$\frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{2} - 9}$；(2)$\frac{-125ab^{2}c}{15a^{2}bc}$；(3)$\frac{x^{2} - 4x}{16 - x^{2}}$。
答案：
(1) $\frac{x + 3}{x - 3}$；
(2) $-\frac{25b}{3a}$；
(3) $-\frac{x}{x + 4}$
(1) $\frac{x + 3}{x - 3}$；
(2) $-\frac{25b}{3a}$；
(3) $-\frac{x}{x + 4}$
5. 约分：
(1)$\frac{8(y - x)^{5}}{x - y}$；(2)$\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9}$。
(1)$\frac{8(y - x)^{5}}{x - y}$；(2)$\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9}$。
答案：
(1) $-8(x - y)^{4}$；
(2) $\frac{x}{x - 3}$
(1) $-8(x - y)^{4}$；
(2) $\frac{x}{x - 3}$
6. 通分：
(1)$\frac{3c}{2ab^{2}}和-\frac{a}{8bc^{2}}$；(2)$\frac{2mn}{4m^{2} - 9}和\frac{2m - 3}{2m + 3}$。
(1)$\frac{3c}{2ab^{2}}和-\frac{a}{8bc^{2}}$；(2)$\frac{2mn}{4m^{2} - 9}和\frac{2m - 3}{2m + 3}$。
答案：
(1) $\frac{12c^{3}}{8ab^{2}c^{2}}$，$-\frac{a^{2}b}{8ab^{2}c^{2}}$；
(2) $\frac{2mn}{4m^{2}-9}$，$\frac{(2m - 3)^{2}}{4m^{2}-9}$
(1) $\frac{12c^{3}}{8ab^{2}c^{2}}$，$-\frac{a^{2}b}{8ab^{2}c^{2}}$；
(2) $\frac{2mn}{4m^{2}-9}$，$\frac{(2m - 3)^{2}}{4m^{2}-9}$
7. 先化简,再求值：$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} - 2xy + y^{2}}$,其中$x = 5$,$y = -10$。
答案：原式$=\frac{(x + y)(x - y)}{(x - y)^{2}} = \frac{x + y}{x - y}$. 当$x = 5$，$y=-10$时，原式$=\frac{x + y}{x - y}=\frac{5-10}{5-(-10)}=\frac{-5}{15}=-\frac{1}{3}$
8. 已知$x + \frac{1}{x} = 3$,求$\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$的值。
答案：$\frac{1}{8}$
解析：
已知$x + \frac{1}{x} = 3$，两边平方得$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$，即$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，化简得$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$。
对$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$分子分母同时除以$x^2$，得$\frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$，将$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$代入，可得$\frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8}$。
$\frac{1}{8}$
对$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$分子分母同时除以$x^2$，得$\frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$，将$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$代入，可得$\frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8}$。
$\frac{1}{8}$
已知$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} \neq 0$,求$\frac{xy + yz + xz}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$的值。
答案：$\frac{54}{61}$
解析：
设$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = k(k \neq 0)$，则$x = 3k$，$y = 4k$，$z = 6k$。
$\begin{aligned}\frac{xy + yz + xz}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}&=\frac{(3k)(4k) + (4k)(6k) + (3k)(6k)}{(3k)^{2} + (4k)^{2} + (6k)^{2}}\\&=\frac{12k^{2} + 24k^{2} + 18k^{2}}{9k^{2} + 16k^{2} + 36k^{2}}\\&=\frac{54k^{2}}{61k^{2}}\\&=\frac{54}{61}\end{aligned}$
$\frac{54}{61}$
$\begin{aligned}\frac{xy + yz + xz}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}&=\frac{(3k)(4k) + (4k)(6k) + (3k)(6k)}{(3k)^{2} + (4k)^{2} + (6k)^{2}}\\&=\frac{12k^{2} + 24k^{2} + 18k^{2}}{9k^{2} + 16k^{2} + 36k^{2}}\\&=\frac{54k^{2}}{61k^{2}}\\&=\frac{54}{61}\end{aligned}$
$\frac{54}{61}$