1.(2024·甘孜州)在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = x + 1 $ 的图象不经过的象限为(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：D
解析：
一次函数$y = x + 1$，其中$k=1＞0$，$b=1＞0$。因为$k＞0$，$b＞0$，所以函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
D
D
2. 一次函数 $ y = kx + b $ 与 $ y = kbx $,它们在同一直角坐标系内的图象可能为(
B
)答案：B
解析：
解：分情况讨论：
1. 当 $ k ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第一、二、三象限；
$ kb ＞ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第一、三象限。无符合选项。
2. 当 $ k ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第一、三、四象限；
$ kb ＜ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第二、四象限。无符合选项。
3. 当 $ k ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第一、二、四象限；
$ kb ＜ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第二、四象限。选项 B 符合。
4. 当 $ k ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第二、三、四象限；
$ kb ＞ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第一、三象限。无符合选项。
结论：图象可能为 B。
B
1. 当 $ k ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第一、二、三象限；
$ kb ＞ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第一、三象限。无符合选项。
2. 当 $ k ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第一、三、四象限；
$ kb ＜ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第二、四象限。无符合选项。
3. 当 $ k ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第一、二、四象限；
$ kb ＜ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第二、四象限。选项 B 符合。
4. 当 $ k ＜ 0 $，$ b ＜ 0 $ 时：
一次函数 $ y = kx + b $ 过第二、三、四象限；
$ kb ＞ 0 $，正比例函数 $ y = kbx $ 过第一、三象限。无符合选项。
结论：图象可能为 B。
B
3. 若点 $ (-3,y_1) $,$ (2,y_2) $ 都在函数 $ y = -4x + b $ 的图象上,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是(
A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_1 = y_2 $
D.无法确定
A
)A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_1 = y_2 $
D.无法确定
答案：A
解析：
∵函数$y = -4x + b$中，$k=-4\lt0$，
∴$y$随$x$的增大而减小。
∵$-3\lt2$，
∴$y_1\gt y_2$。
A
4. 在一定范围内,某产品的购买量 $ y $(吨)与每吨的价格 $ x $(元)之间满足一次函数关系. 若购买 1000 吨,则每吨为 800 元；若购买 2000 吨,则每吨为 700 元. 若某客户购买 400 吨,则每吨的价格为(
A.820 元
B.840 元
C.860 元
D.880 元
C
)A.820 元
B.840 元
C.860 元
D.880 元
答案：C
解析：
设该一次函数为$y = kx + b$。
将$x = 800$，$y = 1000$和$x = 700$，$y = 2000$分别代入函数，得：
$\begin{cases}1000 = 800k + b \\2000 = 700k + b\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：
$1000 - 2000 = (800k + b) - (700k + b)$
$-1000 = 100k$
解得$k = -10$。
将$k = -10$代入$1000 = 800k + b$：
$1000 = 800×(-10) + b$
$1000 = -8000 + b$
解得$b = 9000$。
所以函数关系式为$y = -10x + 9000$。
当$y = 400$时：
$400 = -10x + 9000$
$-10x = 400 - 9000$
$-10x = -8600$
解得$x = 860$。
C
将$x = 800$，$y = 1000$和$x = 700$，$y = 2000$分别代入函数，得：
$\begin{cases}1000 = 800k + b \\2000 = 700k + b\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：
$1000 - 2000 = (800k + b) - (700k + b)$
$-1000 = 100k$
解得$k = -10$。
将$k = -10$代入$1000 = 800k + b$：
$1000 = 800×(-10) + b$
$1000 = -8000 + b$
解得$b = 9000$。
所以函数关系式为$y = -10x + 9000$。
当$y = 400$时：
$400 = -10x + 9000$
$-10x = 400 - 9000$
$-10x = -8600$
解得$x = 860$。
C
5. 为落实“五育并举”,某校利用课后延时服务时间进行趣味运动,甲同学从跑道 A 处匀速跑往 B 处,乙同学从 B 处匀速跑往 A 处,两人同时出发,到达各自终点后立即停止运动. 设甲同学跑步的时间为 $ x $ 秒,甲、乙两人之间的距离为 $ y $ 米,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系如图所示,则图中 $ t $ 的值是(
A.20
B.18
C.$ \dfrac{55}{3} $
D.$ \dfrac{50}{3} $
D
)A.20
B.18
C.$ \dfrac{55}{3} $
D.$ \dfrac{50}{3} $
答案：D
解析：
解：由图可知，A、B两地距离为100米。
0-10秒：两人相向而行，10秒时相遇，
两人速度和为：$100÷10 = 10$（米/秒）。
25秒时，两人距离再次为100米，此时一人已到达终点并停止，
甲的速度：$100÷25 = 4$（米/秒），
则乙的速度：$10 - 4 = 6$（米/秒）。
乙到达A处所需时间：$100÷6=\dfrac{50}{3}$（秒），
即$t = \dfrac{50}{3}$。
D
0-10秒：两人相向而行，10秒时相遇，
两人速度和为：$100÷10 = 10$（米/秒）。
25秒时，两人距离再次为100米，此时一人已到达终点并停止，
甲的速度：$100÷25 = 4$（米/秒），
则乙的速度：$10 - 4 = 6$（米/秒）。
乙到达A处所需时间：$100÷6=\dfrac{50}{3}$（秒），
即$t = \dfrac{50}{3}$。
D
6. 已知一次函数 $ y = kx + 1 $ 的图象经过点 $ P(-1,0) $,则 $ k = $
1
.答案：1
解析：
将点$ P(-1,0) $代入$ y = kx + 1 $，得$ 0 = -k + 1 $，解得$ k = 1 $。
1
1
7. 将函数 $ y = 2x + 3 $ 的图象向下平移 6 个单位长度后,得到的新图象的函数表达式为
y=2x-3
.答案：y=2x-3
解析：
解：函数图象平移遵循“上加下减”原则，将函数$y = 2x + 3$的图象向下平移6个单位长度，即对函数表达式中的常数项进行减6操作，可得新函数表达式为$y = 2x + 3 - 6 = 2x - 3$。
$y=2x-3$
$y=2x-3$
8. 写出同时具备下列两个条件：① $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；②图象经过点 $ (1,-3) $ 的函数表达式：
答案不唯一,如y=x-4
.(一个即可)答案：答案不唯一,如y=x-4
9.(2024·湖滨新区期末)若 $ (x_1,y_1) $,$ (x_2,y_2) $ 这两个不同点在 $ y $ 关于 $ x $ 的一次函数 $ y = (a + 1)x - 1 $ 的图象上,且 $ (x_1 - x_2)(y_1 - y_2) ＜ 0 $,则 $ a $ 的取值范围是
a＜-1
.答案：a＜-1
解析：
解：因为点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$在一次函数$y=(a + 1)x - 1$的图象上，所以$y_1=(a + 1)x_1 - 1$，$y_2=(a + 1)x_2 - 1$。
则$y_1 - y_2=(a + 1)(x_1 - x_2)$。
已知$(x_1 - x_2)(y_1 - y_2)＜0$，即$(x_1 - x_2)^2(a + 1)＜0$。
因为$(x_1 - x_2)^2＞0$（两点不同，$x_1≠x_2$），所以$a + 1＜0$，解得$a＜-1$。
$a＜-1$
则$y_1 - y_2=(a + 1)(x_1 - x_2)$。
已知$(x_1 - x_2)(y_1 - y_2)＜0$，即$(x_1 - x_2)^2(a + 1)＜0$。
因为$(x_1 - x_2)^2＞0$（两点不同，$x_1≠x_2$），所以$a + 1＜0$，解得$a＜-1$。
$a＜-1$
10. 一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程 $ y $(千米)与行驶时间 $ x $(时)之间的函数关系如图所示. 当 $ 0 \leqslant x \leqslant 0.5 $ 时,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = 60x $；当 $ 0.5 \leqslant x \leqslant 2 $ 时,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为______.
y=80x-10
答案：y=80x-10
解析：
当$x = 0.5$时，由$y = 60x$得$y=60×0.5 = 30$。
设当$0.5 \leqslant x \leqslant 2$时，函数表达式为$y=kx+b$。
因为函数图像过点$(0.5,30)$和$(2,y_2)$（由图像可知当$x=2$时，$y=150$），
将$(0.5,30)$，$(2,150)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}0.5k + b=30\\2k + b=150\end{cases}$
两式相减：$2k + b-(0.5k + b)=150 - 30$
$1.5k=120$，$k = 80$
将$k = 80$代入$0.5k + b=30$得：$0.5×80 + b=30$，$40 + b=30$，$b=-10$
所以函数表达式为$y = 80x-10$。
$y = 80x - 10$
设当$0.5 \leqslant x \leqslant 2$时，函数表达式为$y=kx+b$。
因为函数图像过点$(0.5,30)$和$(2,y_2)$（由图像可知当$x=2$时，$y=150$），
将$(0.5,30)$，$(2,150)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}0.5k + b=30\\2k + b=150\end{cases}$
两式相减：$2k + b-(0.5k + b)=150 - 30$
$1.5k=120$，$k = 80$
将$k = 80$代入$0.5k + b=30$得：$0.5×80 + b=30$，$40 + b=30$，$b=-10$
所以函数表达式为$y = 80x-10$。
$y = 80x - 10$