1. (2024·通州区期末)如图,$CD\perp AB于点D$,$BE\perp AC于点E$,$OB = OC$,则图中全等三角形共有(
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
C
)A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案：C
解析：
证明：
1. 在$\triangle OBD$和$\triangle OCE$中，
$\angle ODB = \angle OEC = 90°$，
$\angle DOB = \angle EOC$，
$OB = OC$，
$\therefore \triangle OBD \cong \triangle OCE(AAS)$，
$\therefore OD = OE$，$BD = CE$；
2. 在$Rt\triangle AOD$和$Rt\triangle AOE$中，
$OA = OA$，
$OD = OE$，
$\therefore Rt\triangle AOD \cong Rt\triangle AOE(HL)$，
$\therefore AD = AE$，$\angle OAD = \angle OAE$；
3. $\because AD = AE$，$BD = CE$，
$\therefore AB = AC$，
在$\triangle AOB$和$\triangle AOC$中，
$AB = AC$，
$\angle OAB = \angle OAC$，
$OA = OA$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle AOC(SAS)$；
4. 在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\angle AEB = \angle ADC = 90°$，
$\angle BAE = \angle CAD$，
$AB = AC$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACD(AAS)$。
综上，全等三角形共有4对。
C
1. 在$\triangle OBD$和$\triangle OCE$中，
$\angle ODB = \angle OEC = 90°$，
$\angle DOB = \angle EOC$，
$OB = OC$，
$\therefore \triangle OBD \cong \triangle OCE(AAS)$，
$\therefore OD = OE$，$BD = CE$；
2. 在$Rt\triangle AOD$和$Rt\triangle AOE$中，
$OA = OA$，
$OD = OE$，
$\therefore Rt\triangle AOD \cong Rt\triangle AOE(HL)$，
$\therefore AD = AE$，$\angle OAD = \angle OAE$；
3. $\because AD = AE$，$BD = CE$，
$\therefore AB = AC$，
在$\triangle AOB$和$\triangle AOC$中，
$AB = AC$，
$\angle OAB = \angle OAC$，
$OA = OA$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle AOC(SAS)$；
4. 在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\angle AEB = \angle ADC = 90°$，
$\angle BAE = \angle CAD$，
$AB = AC$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACD(AAS)$。
综上，全等三角形共有4对。
C
2. 如图,要测量河两岸相对的$A$,$B$两点之间的距离,可以在与$AB垂直的河岸BF上取C$,$D$两点,且使$BC = CD$。从点$D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E$,使点$A$,$C$,$E$在一条直线上。若测量$DE$的长为15米,则$A$,$B$两点之间的距离为
15
米。答案：15
解析：
证明：
∵ $AB \perp BF$，$DE \perp BF$，
∴ $\angle ABC = \angle EDC = 90°$。
∵ $\angle ACB = \angle ECD$（对顶角相等），$BC = CD$，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle EDC$（ASA）。
∴ $AB = DE$。
∵ $DE = 15$米，
∴ $AB = 15$米。
15
∵ $AB \perp BF$，$DE \perp BF$，
∴ $\angle ABC = \angle EDC = 90°$。
∵ $\angle ACB = \angle ECD$（对顶角相等），$BC = CD$，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle EDC$（ASA）。
∴ $AB = DE$。
∵ $DE = 15$米，
∴ $AB = 15$米。
15
3. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 4$,$AD = 6$。延长$BC到点E$,使$CE = 2$,连接$DE$,动点$P从点B$出发,以每秒2个单位长度的速度沿$BC - CD - DA向终点A$运动。设点$P的运动时间为t$秒,当$t$为
1或7
时,$\triangle ABP和\triangle DCE$全等。答案：1或7
解析：
解：
$\because$ 四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AB=CD=4$，$AD=BC=6$，$\angle B=\angle DCE=90°$。
$\because CE=2$，$\triangle ABP$和$\triangle DCE$全等，分两种情况：
情况1： $BP=CE=2$，$AB=CD=4$。
$\because P$从$B$出发沿$BC$运动，速度为$2$单位/秒，
$\therefore t=\frac{BP}{2}=\frac{2}{2}=1$。
情况2： $BP=CD=4$，$AB=CE=2$（不成立，$AB=4\neq CE=2$，舍去）；或$AP=CE=2$，$AB=CD=4$。
$P$运动路径为$BC-CD-DA$，总路程为$BC+CD+DA=6+4+6=16$。
当$P$在$DA$上时，$AP=2$，则$P$运动路程为$BC+CD+DA-AP=6+4+6-2=14$，
$\therefore t=\frac{14}{2}=7$。
综上，$t=1$或$7$。
答案：$1$或$7$
$\because$ 四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AB=CD=4$，$AD=BC=6$，$\angle B=\angle DCE=90°$。
$\because CE=2$，$\triangle ABP$和$\triangle DCE$全等，分两种情况：
情况1： $BP=CE=2$，$AB=CD=4$。
$\because P$从$B$出发沿$BC$运动，速度为$2$单位/秒，
$\therefore t=\frac{BP}{2}=\frac{2}{2}=1$。
情况2： $BP=CD=4$，$AB=CE=2$（不成立，$AB=4\neq CE=2$，舍去）；或$AP=CE=2$，$AB=CD=4$。
$P$运动路径为$BC-CD-DA$，总路程为$BC+CD+DA=6+4+6=16$。
当$P$在$DA$上时，$AP=2$，则$P$运动路程为$BC+CD+DA-AP=6+4+6-2=14$，
$\therefore t=\frac{14}{2}=7$。
综上，$t=1$或$7$。
答案：$1$或$7$
4. 如图,$AC\perp BC$,$DC\perp EC$,$AC = BC$,$DC = EC$,$AE与BD交于点F$。
(1)求证：$AE = BD$；
(2)求$\angle AFD$的度数。
(1)求证：$AE = BD$；
(2)求$\angle AFD$的度数。
答案：
(1)证明:
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,{AC=BC,
∠ACE=∠BCD,
CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)解:设BC与AE交于点N.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B,
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=90°,
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.
(1)证明:
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,{AC=BC,
∠ACE=∠BCD,
CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)解:设BC与AE交于点N.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B,
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=90°,
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.
5. (2024·宿豫期中)如图,在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,点$B$,$F$,$C$,$E$在同一直线上。已知$AB// DE$,$BF = CE$。给出下列条件：①$\angle A= \angle D$,②$\angle B= \angle E$,③$AC = DF$,④$AC// DF$,能判定$\triangle ABC\cong\triangle DEF$的是(
A.①②③
B.①②④
C.①④
D.①②③④
C
)A.①②③
B.①②④
C.①④
D.①②③④
答案：C
解析：
证明：
∵ $BF = CE$，
∴ $BF + FC = CE + FC$，即 $BC = EF$。
∵ $AB // DE$，
∴ $\angle B = \angle E$。
条件①：$\angle A = \angle D$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} \angle A = \angle D \\\angle B = \angle E \\BC = EF \end{cases}$，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$（AAS）。
条件②：$\angle B = \angle E$，
仅一组角和一组边对应相等，无法判定全等。
条件③：$AC = DF$，
SSA无法判定全等。
条件④：$AC // DF$，
∴ $\angle ACB = \angle DFE$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} \angle B = \angle E \\BC = EF \\\angle ACB = \angle DFE \end{cases}$，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$（ASA）。
综上，能判定全等的是①④。
答案：C
∵ $BF = CE$，
∴ $BF + FC = CE + FC$，即 $BC = EF$。
∵ $AB // DE$，
∴ $\angle B = \angle E$。
条件①：$\angle A = \angle D$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} \angle A = \angle D \\\angle B = \angle E \\BC = EF \end{cases}$，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$（AAS）。
条件②：$\angle B = \angle E$，
仅一组角和一组边对应相等，无法判定全等。
条件③：$AC = DF$，
SSA无法判定全等。
条件④：$AC // DF$，
∴ $\angle ACB = \angle DFE$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} \angle B = \angle E \\BC = EF \\\angle ACB = \angle DFE \end{cases}$，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$（ASA）。
综上，能判定全等的是①④。
答案：C