9. 如图,点 $ D $,$ E $,$ F $ 分别在等边三角形 $ ABC $ 的边 $ AB $,$ BC $,$ CA $ 上.若 $ AD = BE = CF $,试判断 $ \triangle DEF $ 的形状,并证明.
答案：解:△DEF为等边三角形.证明如下:$\because △ABC$为等边三角形,$\therefore AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60^{\circ }.\because AD=BE=CF,\therefore BD=CE=AF,$$\therefore △ADF\cong △BED\cong △CFE,$$\therefore DF=ED=EF,\therefore △DEF$为等边三角形.
解析：
解：△DEF为等边三角形。证明如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=CA-CF，即BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\begin{cases}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{cases}$
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF为等边三角形。
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°。
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=BC-BE=CA-CF，即BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\begin{cases}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{cases}$
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF为等边三角形。
10. $ \triangle ABC $ 为等边三角形,$ D $ 为射线 $ BC $ 上一点,$ \angle ADE = 60^{\circ} $,$ DE $ 与 $ \triangle ABC $ 的外角平分线交于点 $ E $.
(1) 如图①,点 $ D $ 在 $ BC $ 边上,求证：$ CA = CD + CE $；
(2) 如图②,点 $ D $ 在 $ BC $ 的延长线上,请写出 $ CA $,$ CD $,$ CE $ 之间的数量关系,并说明理由.
(1) 如图①,点 $ D $ 在 $ BC $ 边上,求证：$ CA = CD + CE $；
(2) 如图②,点 $ D $ 在 $ BC $ 的延长线上,请写出 $ CA $,$ CD $,$ CE $ 之间的数量关系,并说明理由.
答案：
$(1) $证明$:$如答图$①,$在$AC$上截取$CM = CD,$连接$DM. $
∵$△ABC$是等边三角形$,$∴$∠ACB = 60°, $
∵$CD$是等边三角形$, $
∴$MD = CD = CM,∠CMD = ∠CDM = 60°, $
∴$∠AMD = 120°, $
∵$∠ADE = 60°,$∴$∠ADE = ∠MDC, $
∴$∠ADM = ∠EDC. $
∵$DE$与$△ABC$的外角平分线交于点$E, $
∴$∠ACE = 60°,$∴$∠DCE = 120° = ∠AMD. $
在$△ADM$和$△EDC$中$, $
$\begin{cases}\angle ADM=\angle EDC,\\ MD = CD,\\ \angle AMD=\angle ECD,\end{cases} $
∴$△ADM≌△EDC(ASA),$∴$AM = EC, $
∴$CA = CM + AM = CD + CE. $
$(2) $解$:CA = CE - CD.$理由如下$: $
如答图$②,$在$AC$的延长线上截取$CM = CD,$连接$DM.$
∵$△ABC$是等边三角形$,$∴$∠ACB = 60°, $
∵$MD = CD,$∴$∠CMD = ∠CDM = 60°, $
∵$DE$与$△ABC$的外角平分线交于点$E, $
∴$∠ACE = ∠DCE = 60°, $
∴$∠ECD = ∠AMD. $
∵$∠ADE = 60°,$∴$∠ADE = ∠CDM, $
∴$∠ADM = ∠EDC. $
在$△ADM$和$△EDC$中$, $
$\begin{cases}\angle ADM=\angle EDC,\\ MD = CD,\\ \angle AMD=\angle ECD,\end{cases} $
∴$△ADM≌△EDC(ASA), $
∴$AM = EC,$∴$CA = AM - CM = CE - CD. $
$(1) $证明$:$如答图$①,$在$AC$上截取$CM = CD,$连接$DM. $
∵$△ABC$是等边三角形$,$∴$∠ACB = 60°, $
∵$CD$是等边三角形$, $
∴$MD = CD = CM,∠CMD = ∠CDM = 60°, $
∴$∠AMD = 120°, $
∵$∠ADE = 60°,$∴$∠ADE = ∠MDC, $
∴$∠ADM = ∠EDC. $
∵$DE$与$△ABC$的外角平分线交于点$E, $
∴$∠ACE = 60°,$∴$∠DCE = 120° = ∠AMD. $
在$△ADM$和$△EDC$中$, $
$\begin{cases}\angle ADM=\angle EDC,\\ MD = CD,\\ \angle AMD=\angle ECD,\end{cases} $
∴$△ADM≌△EDC(ASA),$∴$AM = EC, $
∴$CA = CM + AM = CD + CE. $
$(2) $解$:CA = CE - CD.$理由如下$: $
如答图$②,$在$AC$的延长线上截取$CM = CD,$连接$DM.$
∵$△ABC$是等边三角形$,$∴$∠ACB = 60°, $
∵$MD = CD,$∴$∠CMD = ∠CDM = 60°, $
∵$DE$与$△ABC$的外角平分线交于点$E, $
∴$∠ACE = ∠DCE = 60°, $
∴$∠ECD = ∠AMD. $
∵$∠ADE = 60°,$∴$∠ADE = ∠CDM, $
∴$∠ADM = ∠EDC. $
在$△ADM$和$△EDC$中$, $
$\begin{cases}\angle ADM=\angle EDC,\\ MD = CD,\\ \angle AMD=\angle ECD,\end{cases} $
∴$△ADM≌△EDC(ASA), $
∴$AM = EC,$∴$CA = AM - CM = CE - CD. $
11. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ D $ 是 $ \triangle ABC $ 外一点,且 $ \angle BDC = 120^{\circ} $,试探究线段 $ AD $,$ BD $,$ CD $ 之间的数量关系,并说明理由.
答案：
解:AD=BD + CD,理由如下:延长BD至点E,使DE=DC,连接CE,如图$.\because ∠BDC=120^{\circ },\therefore ∠CDE=60^{\circ },\therefore △CDE$是等边三角形$,\therefore CD=CE,∠DCE=60^{\circ }.\because △ABC$是等边三角形$,\therefore AC=BC,∠ACB=60^{\circ },\therefore ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,$即$∠ACD=∠BCE.\therefore △ACD\cong △BCE(SAS),\therefore AD=BE.\because BE=BD+DE,\therefore AD=BD+CD.$
解:AD=BD + CD,理由如下:延长BD至点E,使DE=DC,连接CE,如图$.\because ∠BDC=120^{\circ },\therefore ∠CDE=60^{\circ },\therefore △CDE$是等边三角形$,\therefore CD=CE,∠DCE=60^{\circ }.\because △ABC$是等边三角形$,\therefore AC=BC,∠ACB=60^{\circ },\therefore ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,$即$∠ACD=∠BCE.\therefore △ACD\cong △BCE(SAS),\therefore AD=BE.\because BE=BD+DE,\therefore AD=BD+CD.$