2. 在数学学习中,折纸常常能为我们解决问题提供思路和方法. 在数学综合实践课上,老师和同学们对长 $ 8 \mathrm{cm} $、宽 $ 4 \mathrm{cm} $ 的长方形纸片进行折纸探究活动.
【操作说理】
如图①,在长方形纸片 $ DEFG $ 上任意画一条线段 $ AB $,将纸片沿线段 $ AB $ 折叠(如图②).
(1)试探究重叠部分 $ \triangle ABC $ 的形状? 并说明理由.
(2)求 $ \triangle ABC $ 面积的最小值.
【感悟作图】
把长方形纸片 $ DEFG $ 对折,折痕为 $ MN $,请你用
(3)如图③,试在折痕 $ MN $ 上找一点 $ P $,使得 $ \triangle DEP $ 为等边三角形.
【迁移运用】
(4)若在一张
【操作说理】
如图①,在长方形纸片 $ DEFG $ 上任意画一条线段 $ AB $,将纸片沿线段 $ AB $ 折叠(如图②).
(1)试探究重叠部分 $ \triangle ABC $ 的形状? 并说明理由.
(2)求 $ \triangle ABC $ 面积的最小值.
【感悟作图】
把长方形纸片 $ DEFG $ 对折,折痕为 $ MN $,请你用
无
刻
度
的
直
尺
和
圆
规
作图(保留作图痕迹,不写作法).(3)如图③,试在折痕 $ MN $ 上找一点 $ P $,使得 $ \triangle DEP $ 为等边三角形.
【迁移运用】
(4)若在一张
钝
角
三角形 $ ABC $ 纸片中,$ \angle B= 36^{\circ} $,过某一个顶点将纸片对折一次后,使得对折后的两个三角形均为等腰三角形,则三角形纸片中最大内角的度数为____.答案：
(1)解:△ABC是等腰三角形.
理由:由折叠知,∠FAB=∠CAB.
∵EF//DG,
∴∠ABC=∠BAF,
∴∠ABC=∠BAC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:如答图①,过点A作AM⊥DG于点M.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×AM×BC=$\frac{1}{2}$×4×BC=$\frac{1}{2}$×4×AC,
∴当AC取最小值时,S△ABC最小.
∴当AC⊥DG时,即AC=AM=4时,S△ABC最小,为$\frac{1}{2}$×4×4=8(cm²).
(3)解:如答图②,点P即为所求(以点E,D为圆心,DE长为半径画弧,交MN于点P).
(4)108°或126°或132°
(1)解:△ABC是等腰三角形.
理由:由折叠知,∠FAB=∠CAB.
∵EF//DG,
∴∠ABC=∠BAF,
∴∠ABC=∠BAC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:如答图①,过点A作AM⊥DG于点M.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$×AM×BC=$\frac{1}{2}$×4×BC=$\frac{1}{2}$×4×AC,
∴当AC取最小值时,S△ABC最小.
∴当AC⊥DG时,即AC=AM=4时,S△ABC最小,为$\frac{1}{2}$×4×4=8(cm²).
(3)解:如答图②,点P即为所求(以点E,D为圆心,DE长为半径画弧,交MN于点P).
(4)108°或126°或132°