1. 已知$a$是实数,下列各式一定表示正数的是(
A.$-\sqrt{a}$
B.$\pm\sqrt{a}$
C.$\sqrt{a^{2}}$
D.$\sqrt{a^{2}+2}$
D
)A.$-\sqrt{a}$
B.$\pm\sqrt{a}$
C.$\sqrt{a^{2}}$
D.$\sqrt{a^{2}+2}$
答案：D
解析：
A. 当$a ＞ 0$时，$-\sqrt{a}$为负数；当$a = 0$时，$-\sqrt{a} = 0$，不一定是正数。
B. $\pm\sqrt{a}$可表示正数、负数或零，不一定是正数。
C. $\sqrt{a^{2}} = |a|$，当$a = 0$时，$|a| = 0$，不一定是正数。
D. 因为$a^{2} \geq 0$，所以$a^{2} + 2 \geq 2$，则$\sqrt{a^{2} + 2} \geq \sqrt{2} ＞ 0$，一定是正数。
结论：D
B. $\pm\sqrt{a}$可表示正数、负数或零，不一定是正数。
C. $\sqrt{a^{2}} = |a|$，当$a = 0$时，$|a| = 0$，不一定是正数。
D. 因为$a^{2} \geq 0$，所以$a^{2} + 2 \geq 2$，则$\sqrt{a^{2} + 2} \geq \sqrt{2} ＞ 0$，一定是正数。
结论：D
2. (2024 春·常州期末)若$a^{2}+2a + 1+\sqrt{a + b}= 0$,则$ab$的值是(
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A
)A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案：A
解析：
$a^{2}+2a + 1+\sqrt{a + b}=0$可化为$(a + 1)^{2}+\sqrt{a + b}=0$。
因为$(a + 1)^{2}\geq0$，$\sqrt{a + b}\geq0$，且两者之和为$0$，所以$\begin{cases}(a + 1)^{2}=0\\\sqrt{a + b}=0\end{cases}$。
解得$a=-1$，将$a=-1$代入$\sqrt{a + b}=0$，得$\sqrt{-1 + b}=0$，即$-1 + b=0$，$b=1$。
则$ab=(-1)×1=-1$。
A
因为$(a + 1)^{2}\geq0$，$\sqrt{a + b}\geq0$，且两者之和为$0$，所以$\begin{cases}(a + 1)^{2}=0\\\sqrt{a + b}=0\end{cases}$。
解得$a=-1$，将$a=-1$代入$\sqrt{a + b}=0$，得$\sqrt{-1 + b}=0$，即$-1 + b=0$，$b=1$。
则$ab=(-1)×1=-1$。
A
3. (2024·南京一模)若式子$\sqrt{x - 6}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是
x≥6
.答案：x≥6
解析：
$x \geq 6$
4. 若$y= \sqrt{x - 2}+\sqrt{2 - x}+8$,求$xy$的算术平方根.
答案：解:由题意得$\left\{\begin{array}{l} x-2\geqslant 0,\\ 2-x\geqslant 0,\end{array}\right. $解得$x=2$,此时$y=8.$
$\therefore xy$的算术平方根为$\sqrt {xy}=\sqrt {2×8}=4.$
$\therefore xy$的算术平方根为$\sqrt {xy}=\sqrt {2×8}=4.$
5. 实数$-\dfrac{21}{7}$,$\sqrt[3]{-8}$,$0$,$\sqrt{27}$,$\dfrac{\pi}{3}$,$3.1415$,$-2^{2}$,$\vert - 2024\vert$中,非负数有(
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
D
)A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
答案：D
解析：
$-\dfrac{21}{7}=-3$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$-2^{2}=-4$，$\vert - 2024\vert=2024$。
非负数是指大于等于0的数，在这些实数中，非负数有：$0$，$\sqrt{27}$，$\dfrac{\pi}{3}$，$3.1415$，$\vert - 2024\vert$，共5个。
D
非负数是指大于等于0的数，在这些实数中，非负数有：$0$，$\sqrt{27}$，$\dfrac{\pi}{3}$，$3.1415$，$\vert - 2024\vert$，共5个。
D
6. 已知三角形两边的长$x$,$y满足\vert x^{2}-9\vert+\sqrt{y - 1}= 0$,则第三边长的整数值为(
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
B
)A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案：B
解析：
因为$\vert x^{2}-9\vert+\sqrt{y - 1}= 0$，且$\vert x^{2}-9\vert\geq0$，$\sqrt{y - 1}\geq0$，所以$x^{2}-9=0$，$y - 1=0$。解得$x = 3$（$x=-3$舍去，边长不能为负），$y=1$。设第三边长为$z$，根据三角形三边关系，$3 - 1 ＜ z ＜ 3 + 1$，即$2 ＜ z ＜ 4$。所以第三边长的整数值为$3$。
B
B
7. 若实数$m$,$n$,$p满足等式(2m + 4)^{2}+\sqrt{4 - n}+\vert p + 1\vert=0$.
(1) 求$m$,$n$,$p$的值；
(2) 求$3m + 10n-30p$的平方根与立方根.
(1) 求$m$,$n$,$p$的值；
(2) 求$3m + 10n-30p$的平方根与立方根.
答案：解:
(1)由题意得$\left\{\begin{array}{l} 2m+4=0,\\ 4-n=0,\\ p+1=0,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} m=-2,\\ n=4,\\ p=-1.\end{array}\right. $
(2)由
(1)知$3m+10n-30p=-6+40+30=64.$
$\because \pm \sqrt {64}=\pm 8,\sqrt [3]{64}=4,$
$\therefore 3m + 10n-30p$的平方根为$\pm 8$,立方根为4.
(1)由题意得$\left\{\begin{array}{l} 2m+4=0,\\ 4-n=0,\\ p+1=0,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} m=-2,\\ n=4,\\ p=-1.\end{array}\right. $
(2)由
(1)知$3m+10n-30p=-6+40+30=64.$
$\because \pm \sqrt {64}=\pm 8,\sqrt [3]{64}=4,$
$\therefore 3m + 10n-30p$的平方根为$\pm 8$,立方根为4.