8. 若$\vert a-\sqrt{3}\vert+\sqrt{(3a - 2b)^{2}}= 0$,则$ab= $(
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$\sqrt{48}$
D.$9$
B
)A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$\sqrt{48}$
D.$9$
答案：B
解析：
因为$\vert a - \sqrt{3}\vert+\sqrt{(3a - 2b)^{2}} = 0$，且$\vert a - \sqrt{3}\vert\geq0$，$\sqrt{(3a - 2b)^{2}}\geq0$，所以$\vert a - \sqrt{3}\vert=0$，$\sqrt{(3a - 2b)^{2}}=0$。
由$\vert a - \sqrt{3}\vert=0$，得$a=\sqrt{3}$。
由$\sqrt{(3a - 2b)^{2}}=0$，得$3a - 2b = 0$，将$a = \sqrt{3}$代入，得$3\sqrt{3}-2b=0$，解得$b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
所以$ab=\sqrt{3}×\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3×3}{2}=\dfrac{9}{2}$。
B
由$\vert a - \sqrt{3}\vert=0$，得$a=\sqrt{3}$。
由$\sqrt{(3a - 2b)^{2}}=0$，得$3a - 2b = 0$，将$a = \sqrt{3}$代入，得$3\sqrt{3}-2b=0$，解得$b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
所以$ab=\sqrt{3}×\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3×3}{2}=\dfrac{9}{2}$。
B
9. (2024·无锡锡山区期中)一个等腰三角形的两条边长分别为$m和n$,且满足$\vert m - 3\vert+\sqrt{n - 5}= 0$,则等腰三角形的周长等于(
A.$11$
B.$13$
C.$12或15$
D.$11或13$
D
)A.$11$
B.$13$
C.$12或15$
D.$11或13$
答案：D
解析：
因为$\vert m - 3\vert+\sqrt{n - 5}= 0$，且$\vert m - 3\vert\geq0$，$\sqrt{n - 5}\geq0$，所以$m - 3=0$，$n - 5=0$，解得$m=3$，$n=5$。
情况一：当腰长为$3$，底边长为$5$时，$3 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 5=11$。
情况二：当腰长为$5$，底边长为$3$时，$5 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$5 + 5 + 3=13$。
综上，等腰三角形的周长等于$11$或$13$。
D
情况一：当腰长为$3$，底边长为$5$时，$3 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$3 + 3 + 5=11$。
情况二：当腰长为$5$，底边长为$3$时，$5 + 3＞5$，能构成三角形，周长为$5 + 5 + 3=13$。
综上，等腰三角形的周长等于$11$或$13$。
D
10. (2024·南京六合区期末)若$a$,$b$,$c$在数轴上的位置如图所示,化简：$\sqrt{a^{2}}-\vert a + b\vert+\sqrt{(c - a)^{2}}+\sqrt{(b + c)^{2}}= $
-a
.答案：-a
解析：
解：由数轴可知$b ＜ a ＜ 0 ＜ c$，且$|b| ＞ |a| ＞ |c|$，
$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$，
$|a + b| = -(a + b)$，
$\sqrt{(c - a)^{2}} = |c - a| = c - a$，
$\sqrt{(b + c)^{2}} = |b + c| = -(b + c)$，
原式$= -a - [-(a + b)] + (c - a) + [-(b + c)]$
$= -a + a + b + c - a - b - c$
$= -a$
$-a$
$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$，
$|a + b| = -(a + b)$，
$\sqrt{(c - a)^{2}} = |c - a| = c - a$，
$\sqrt{(b + c)^{2}} = |b + c| = -(b + c)$，
原式$= -a - [-(a + b)] + (c - a) + [-(b + c)]$
$= -a + a + b + c - a - b - c$
$= -a$
$-a$
11. 已知$a$,$b$,$c$都是实数,且满足$(2 - a)^{2}+\sqrt{a^{2}+b + c}+\vert c + 8\vert=0$,且$ax^{2}+bx + c = 0$,求代数式$3x^{2}+6x + 4$的算术平方根.
答案：解:由题意,得$\left\{\begin{array}{l} 2 - a=0,\\ a^{2}+b + c=0,\\ c + 8=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=4,\\ c=-8.\end{array}\right. $
$\because ax^{2}+bx + c = 0$,$\therefore 2x^{2}+4x-8=0$,$\therefore x^{2}+2x=4.$
$\therefore 3x^{2}+6x + 4=3(x^{2}+2x)+4=3×4 + 4=16.$
$\because \sqrt {16}=4$,
∴代数式$3x^{2}+6x + 4$的算术平方根为4.
$\because ax^{2}+bx + c = 0$,$\therefore 2x^{2}+4x-8=0$,$\therefore x^{2}+2x=4.$
$\therefore 3x^{2}+6x + 4=3(x^{2}+2x)+4=3×4 + 4=16.$
$\because \sqrt {16}=4$,
∴代数式$3x^{2}+6x + 4$的算术平方根为4.
12. 已知$a$,$b满足b^{2}-10b + 25+\sqrt{a - 1}= 0$.
(1) 求$a$,$b$的值；
(2) 如果一个三角形的三边长分别是$a$,$b$,$c$,请化简：$\vert 5 - 2c\vert+2\sqrt{c^{2}-14c + 49}$.
(1) 求$a$,$b$的值；
(2) 如果一个三角形的三边长分别是$a$,$b$,$c$,请化简：$\vert 5 - 2c\vert+2\sqrt{c^{2}-14c + 49}$.
答案：解:
(1)$\because b^{2}-10b + 25+\sqrt {a - 1}=0,$
$\therefore (b-5)^{2}+\sqrt {a - 1}=0.$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a - 1=0,\\ b - 5=0,\end{array}\right. \therefore \left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=5.\end{array}\right. $
(2)
∵一个三角形的三边长分别是$a$,$b$,$c$,
$\therefore 5 - 1＜c＜5 + 1$,即$4＜c＜6.$
$\therefore 5＜2c$,$c＜7.$
$\therefore |5 - 2c|+2\sqrt {c^{2}-14c + 49}=2c - 5+2(7 - c)=2c - 5+14 - 2c=9.$
(1)$\because b^{2}-10b + 25+\sqrt {a - 1}=0,$
$\therefore (b-5)^{2}+\sqrt {a - 1}=0.$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a - 1=0,\\ b - 5=0,\end{array}\right. \therefore \left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=5.\end{array}\right. $
(2)
∵一个三角形的三边长分别是$a$,$b$,$c$,
$\therefore 5 - 1＜c＜5 + 1$,即$4＜c＜6.$
$\therefore 5＜2c$,$c＜7.$
$\therefore |5 - 2c|+2\sqrt {c^{2}-14c + 49}=2c - 5+2(7 - c)=2c - 5+14 - 2c=9.$
13. 当$y= $
1
时,代数式$2025-\sqrt{y - 1}$取最大值,是2025
.答案：1 2025
解析：
要使代数式$2025 - \sqrt{y - 1}$取最大值，需使$\sqrt{y - 1}$取最小值。
因为$\sqrt{y - 1} \geq 0$，当且仅当$y - 1 = 0$，即$y = 1$时，$\sqrt{y - 1}$取得最小值$0$。
此时，代数式$2025 - \sqrt{y - 1}$的最大值为$2025 - 0 = 2025$。
1；2025
因为$\sqrt{y - 1} \geq 0$，当且仅当$y - 1 = 0$，即$y = 1$时，$\sqrt{y - 1}$取得最小值$0$。
此时，代数式$2025 - \sqrt{y - 1}$的最大值为$2025 - 0 = 2025$。
1；2025
14. 当$a= $
3
时,代数式$\sqrt{a - 3}+5$取最小值,是5
.答案：3 5
解析：
要使代数式$\sqrt{a - 3} + 5$取最小值，因为$\sqrt{a - 3} \geq 0$，当且仅当$\sqrt{a - 3} = 0$时，代数式的值最小。此时$a - 3 = 0$，解得$a = 3$，最小值为$0 + 5 = 5$。
3；5
3；5
15. 若实数$a$,$b满足\sqrt{a + 3}-(6 - b)\sqrt{b - 6}= 0$,则$-a + b$的平方根为
±3
.答案：±3
解析：
由题意得，$\sqrt{b - 6}$有意义，则$b - 6 \geq 0$，即$b \geq 6$。
原等式可变形为$\sqrt{a + 3} + (b - 6)\sqrt{b - 6} = 0$。
因为$\sqrt{a + 3} \geq 0$，$(b - 6)\sqrt{b - 6} \geq 0$，所以$\sqrt{a + 3} = 0$且$(b - 6)\sqrt{b - 6} = 0$。
由$\sqrt{a + 3} = 0$，得$a + 3 = 0$，解得$a = - 3$。
由$(b - 6)\sqrt{b - 6} = 0$，得$b - 6 = 0$，解得$b = 6$。
则$-a + b = -(-3) + 6 = 3 + 6 = 9$。
$9$的平方根为$\pm 3$。
$\pm 3$
原等式可变形为$\sqrt{a + 3} + (b - 6)\sqrt{b - 6} = 0$。
因为$\sqrt{a + 3} \geq 0$，$(b - 6)\sqrt{b - 6} \geq 0$，所以$\sqrt{a + 3} = 0$且$(b - 6)\sqrt{b - 6} = 0$。
由$\sqrt{a + 3} = 0$，得$a + 3 = 0$，解得$a = - 3$。
由$(b - 6)\sqrt{b - 6} = 0$，得$b - 6 = 0$，解得$b = 6$。
则$-a + b = -(-3) + 6 = 3 + 6 = 9$。
$9$的平方根为$\pm 3$。
$\pm 3$
16. 已知实数$a满足\vert 2024 - a\vert+\sqrt{a - 2025}= a$,求$a - 2024^{2}$的值.
答案：解:由题意,得$a - 2025\geqslant 0$,则$a\geqslant 2025.$
$\because |2024 - a|+\sqrt {a - 2025}=a,$
$\therefore a - 2024+\sqrt {a - 2025}=a.$
$\therefore \sqrt {a - 2025}=2024.\therefore a - 2025=2024^{2},$
$\therefore a - 2024^{2}=2025$.
∴$a - 2024^{2}$的值为2025.
$\because |2024 - a|+\sqrt {a - 2025}=a,$
$\therefore a - 2024+\sqrt {a - 2025}=a.$
$\therefore \sqrt {a - 2025}=2024.\therefore a - 2025=2024^{2},$
$\therefore a - 2024^{2}=2025$.
∴$a - 2024^{2}$的值为2025.