2. 阅读教材“证明 $\sqrt{2}$ 是无理数”的材料,解决下面的问题：
反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况,然后推出矛盾,从而证明原结论的正确性. 今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,像整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数. 并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,比如证明 $\sqrt{2}$ 是无理数时,先假设 $\sqrt{2}$ 是有理数,写成 $\frac{m}{n}$($m$,$n$ 是正整数,且没有大于 $1$ 的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明 $\sqrt{2}$ 是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论：仔细回顾证明 $\sqrt{2}$ 是无理数的过程,总结反证法的证明步骤.
(2)实践操作：你能仿照证明 $\sqrt{2}$ 是无理数的方法,用反证法证明 $\sqrt{2}-1$ 也是无理数吗？请写出详细的证明过程.
(3)拓展思考：除了 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}-1$,你还能想到哪些数可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数呢？选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.
反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况,然后推出矛盾,从而证明原结论的正确性. 今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,像整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数. 并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,比如证明 $\sqrt{2}$ 是无理数时,先假设 $\sqrt{2}$ 是有理数,写成 $\frac{m}{n}$($m$,$n$ 是正整数,且没有大于 $1$ 的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明 $\sqrt{2}$ 是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论：仔细回顾证明 $\sqrt{2}$ 是无理数的过程,总结反证法的证明步骤.
(2)实践操作：你能仿照证明 $\sqrt{2}$ 是无理数的方法,用反证法证明 $\sqrt{2}-1$ 也是无理数吗？请写出详细的证明过程.
(3)拓展思考：除了 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}-1$,你还能想到哪些数可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数呢？选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.
答案：2.解:
(1)反证法的证明步骤:
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明$\sqrt{2}-1$是无理数:
假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$($p,q$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.
因为$p,q$是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.
因此,$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)(答案不唯一)拓展思考示例:
例如,探究$\sqrt{3}$.
假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$($a,b$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.
根据平方根的意义,$\left(\frac{a}{b}\right)^2=3$,即$\frac{a^2}{b^2}=3$,$3b^2=a^2$.
由于$3b^2$是3的倍数,所以$a^2$是3的倍数,从而可知$a$是3的倍数,设$a=3c$($c$是正整数).
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$,得$3b^2=9c^2$,即$b^2=3c^2$,因此$b$也是3的倍数.
于是,$a,b$都是3的倍数,这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾.
所以$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.
(1)反证法的证明步骤:
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明$\sqrt{2}-1$是无理数:
假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$($p,q$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.
因为$p,q$是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.
因此,$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)(答案不唯一)拓展思考示例:
例如,探究$\sqrt{3}$.
假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$($a,b$是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.
根据平方根的意义,$\left(\frac{a}{b}\right)^2=3$,即$\frac{a^2}{b^2}=3$,$3b^2=a^2$.
由于$3b^2$是3的倍数,所以$a^2$是3的倍数,从而可知$a$是3的倍数,设$a=3c$($c$是正整数).
把$a=3c$代入$3b^2=a^2$,得$3b^2=9c^2$,即$b^2=3c^2$,因此$b$也是3的倍数.
于是,$a,b$都是3的倍数,这与$a,b$没有大于1的公约数相矛盾.
所以$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.