1. 我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”。2002 年在北京召开的国际数学家大会选它作为会徽。下列图案中是“赵爽弦图”的是(
B
)答案：B
2. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle A = 90^{\circ} $, $ D $ 是 $ BC $ 边的中点, $ DE \perp BC $,垂足为 $ D $,交 $ AB $ 于点 $ E $,连接 $ CE $,若 $ AE = 3 $, $ BE = 5 $,则边 $ AC $ 的长为(
A.3
B.4
C.6
D.8
B
)A.3
B.4
C.6
D.8
答案：B
解析：
证明：
∵D是BC中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴EC=EB=5。
设AC=x，
在Rt△AEC中，∠A=90°，AE=3，EC=5，
由勾股定理得：$AC^2 + AE^2 = EC^2$，
即$x^2 + 3^2 = 5^2$，
解得$x=4$（负值舍去）。
故AC的长为4。
答案：B
∵D是BC中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴EC=EB=5。
设AC=x，
在Rt△AEC中，∠A=90°，AE=3，EC=5，
由勾股定理得：$AC^2 + AE^2 = EC^2$，
即$x^2 + 3^2 = 5^2$，
解得$x=4$（负值舍去）。
故AC的长为4。
答案：B
3. 如图是由四个直角边分别为 3 和 4 的全等直角三角形拼成的,那么阴影部分的面积为
1
。答案：1
解析：
直角三角形斜边长为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
大正方形边长为 5。
四个直角三角形面积和为 $4 × \frac{1}{2} × 3 × 4 = 24$。
大正方形面积为 $5^2 = 25$。
阴影部分面积为 $25 - 24 = 1$。
1
大正方形边长为 5。
四个直角三角形面积和为 $4 × \frac{1}{2} × 3 × 4 = 24$。
大正方形面积为 $5^2 = 25$。
阴影部分面积为 $25 - 24 = 1$。
1
4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ D $ 为 $ AB $ 边的中点,若 $ CD = 5 $, $ BC = 8 $,则 $ AC = $
6
。答案：6
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$AB$边的中点，
$\therefore AB = 2CD$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
$\because CD = 5$，
$\therefore AB = 2×5 = 10$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
$\because BC = 8$，$AB = 10$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=10^{2}-8^{2}=100 - 64 = 36$，
$\therefore AC=\sqrt{36}=6$。
6
$\therefore AB = 2CD$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
$\because CD = 5$，
$\therefore AB = 2×5 = 10$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
$\because BC = 8$，$AB = 10$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=10^{2}-8^{2}=100 - 64 = 36$，
$\therefore AC=\sqrt{36}=6$。
6
5. 如图所示的图形中能够验证勾股定理的有(
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
A
)A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案：A
解析：
能够验证勾股定理的图形有4个。
A
A
6. (2024·眉山) 图①是北京国际数学家大会的会徽,它取材于“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形拼成。若图①中大正方形的面积为 24,小正方形的面积为 4,现将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为(
A.24
B.36
C.40
D.44
D
)A.24
B.36
C.40
D.44
答案：D
解析：
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$（$a ＞ b$），斜边为$c$。
由图①：
大正方形面积：$c^2 = 24$
小正方形面积：$(a - b)^2 = 4$，即$a - b = 2$
四个直角三角形面积和：$4×\frac{1}{2}ab = 24 - 4 = 20$，得$ab = 10$
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 4 + 4×10 = 44$
图②中大正方形边长为$a + b$，面积为$(a + b)^2 = 44$
D
由图①：
大正方形面积：$c^2 = 24$
小正方形面积：$(a - b)^2 = 4$，即$a - b = 2$
四个直角三角形面积和：$4×\frac{1}{2}ab = 24 - 4 = 20$，得$ab = 10$
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 4 + 4×10 = 44$
图②中大正方形边长为$a + b$，面积为$(a + b)^2 = 44$
D