9. 在平面直角坐标系中,将点 $ P $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度,再向上平移 $ 1 $ 个单位长度得到点 $ P'(-1,3) $,则点 $ P $ 的坐标是
(1,2)
。答案：(1,2)
解析：
设点$P$的坐标为$(x,y)$。
将点$P$向左平移$2$个单位长度，横坐标变为$x - 2$；再向上平移$1$个单位长度，纵坐标变为$y + 1$，得到点$P'(-1,3)$。
则可得方程组：
$\begin{cases}x - 2 = -1\\y + 1 = 3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = -1 + 2 = 1\\y = 3 - 1 = 2\end{cases}$
所以点$P$的坐标是$(1,2)$。
将点$P$向左平移$2$个单位长度，横坐标变为$x - 2$；再向上平移$1$个单位长度，纵坐标变为$y + 1$，得到点$P'(-1,3)$。
则可得方程组：
$\begin{cases}x - 2 = -1\\y + 1 = 3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = -1 + 2 = 1\\y = 3 - 1 = 2\end{cases}$
所以点$P$的坐标是$(1,2)$。
10. (2024·苏州昆山期末)在平面直角坐标系中,把点 $ P(3,a - 1) $ 向下平移 $ 5 $ 个单位长度得到点 $ Q(3,2 - 2b) $,则代数式 $ \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 3 $ 的值为
5
。答案：5
解析：
点$P(3,a - 1)$向下平移$5$个单位长度，纵坐标减$5$，得到点$Q(3,a - 1 - 5)$，即$Q(3,a - 6)$。
已知$Q(3,2 - 2b)$，所以$a - 6 = 2 - 2b$，整理得$a + 2b = 8$。
$\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 3 = \frac{1}{4}(a + 2b) + 3$，将$a + 2b = 8$代入，得$\frac{1}{4}×8 + 3 = 2 + 3 = 5$。
5
已知$Q(3,2 - 2b)$，所以$a - 6 = 2 - 2b$，整理得$a + 2b = 8$。
$\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 3 = \frac{1}{4}(a + 2b) + 3$，将$a + 2b = 8$代入，得$\frac{1}{4}×8 + 3 = 2 + 3 = 5$。
5
11. 如图,在平面直角坐标系中,$ △ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(-4,3) $,$ B(-2,4) $,$ C(-1,1) $。若把 $ △ABC $ 向右平移 $ 5 $ 个单位长度,再向下平移 $ 3 $ 个单位长度得到 $ △A'B'C' $,点 $ A $,$ B $,$ C $ 的对应点分别为 $ A' $,$ B' $,$ C' $。
(1) 写出 $ A' $,$ B' $,$ C' $ 的坐标：$ A' $______,$ B' $______,$ C' $______；
(2) 在图中画出平移后的 $ △A'B'C' $；
(3) 求 $ △ABC $ 的面积。
(1) 写出 $ A' $,$ B' $,$ C' $ 的坐标：$ A' $______,$ B' $______,$ C' $______；
(2) 在图中画出平移后的 $ △A'B'C' $；
(3) 求 $ △ABC $ 的面积。
答案：
(1)(1,0) (3,1) (4,−2)
(2)解:如答图所示,△A'B'C'即为所作.
(3)解:S△ABC=3×3−$\frac{1}{2}$×3×2−$\frac{1}{2}$×3×1−$\frac{1}{2}$×1×2=9−3−$\frac{3}{2}$−1=$\frac{7}{2}$.
(1)(1,0) (3,1) (4,−2)
(2)解:如答图所示,△A'B'C'即为所作.
(3)解:S△ABC=3×3−$\frac{1}{2}$×3×2−$\frac{1}{2}$×3×1−$\frac{1}{2}$×1×2=9−3−$\frac{3}{2}$−1=$\frac{7}{2}$.
12. (2024·苏州吴江区期末)如图,在平面直角坐标系中,已知 $ A(0,2) $,$ B(3,0) $,$ C(6,4) $ 三点。
(1) 将 $ △ABC $ 向右平移 $ 3 $ 格,再向下平移 $ 4 $ 格,得到 $ △A_1B_1C_1 $,在方格纸中画出 $ △A_1B_1C_1 $；$ △ABC $ 内有一点 $ P(a,b) $,则平移后它的对应点 $ P_1 $ 的坐标是______。
(2) $ △ABC $ 的面积为______。
(3) 在 $ y $ 轴上是否存在点 $ M $,使 $ △AMC $ 的面积等于 $ △ABC $ 的面积的 $ 2 $ 倍？若存在,求出点 $ M $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
(1) 将 $ △ABC $ 向右平移 $ 3 $ 格,再向下平移 $ 4 $ 格,得到 $ △A_1B_1C_1 $,在方格纸中画出 $ △A_1B_1C_1 $；$ △ABC $ 内有一点 $ P(a,b) $,则平移后它的对应点 $ P_1 $ 的坐标是______。
(2) $ △ABC $ 的面积为______。
(3) 在 $ y $ 轴上是否存在点 $ M $,使 $ △AMC $ 的面积等于 $ △ABC $ 的面积的 $ 2 $ 倍？若存在,求出点 $ M $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
答案：
(1)(a+3,b−4) △A₁B₁C₁如答图所示.
(2)9
(3)解:存在.设M(0,m),则AM=|m−2|.
∵△AMC的面积等于△ABC的面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$×6×|m−2|=2×9,解得m=8或−4.
∴在y轴上存在点M,使△AMC的面积等于△ABC的面积的2倍，此时点M的坐标为(0,8)或(0,−4).
(1)(a+3,b−4) △A₁B₁C₁如答图所示.
(2)9
(3)解:存在.设M(0,m),则AM=|m−2|.
∵△AMC的面积等于△ABC的面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$×6×|m−2|=2×9,解得m=8或−4.
∴在y轴上存在点M,使△AMC的面积等于△ABC的面积的2倍，此时点M的坐标为(0,8)或(0,−4).