1. 如图,$AB = BE$,$\angle DBC= \frac{1}{2}\angle ABE$,$BD\perp AC$,则下列结论：①$CB平分\angle DCE$；②$\angle ABE+\angle DCE = 180^{\circ}$；③$AC = 2BE + CE$；④$AC = 2CD - CE$. 其中正确的结论为( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
答案：
1.B 点拨:如答图,延长CD,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交CD的延长线于点F,连接BF,则BF=BC,过点B作BG⊥CE,交CE的延长线于点G.
∵FB=BC,BD⊥AC,
∴DF=DC,∠DBC=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠FBC.
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABE,
∴∠FBC=∠ABE,
∴∠FBA=∠CBE.
在△FAB和△CEB中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EB,\\ ∠FBA=∠CBE,\\ BF=BC,\end{array}\right. $
∴△FAB≌△CEB(SAS).
∴∠F=∠BCE,AF=CE.
∵BF=BC,
∴∠F=∠BCD.
∴∠BCD=∠BCE,
∴CB平分∠DCE.故①正确.
∵∠FBC+∠F+∠BCD=180°,
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠ABE+∠DCE=180°.故②正确.
在△BDC和△BGC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BDC=∠BGC=90^{\circ },\\ ∠BCD=∠BCG,\\ BC=BC,\end{array}\right. $
∴△BDC≌△BGC(AAS).
∴BD=BG,CD=CG.
在Rt△BDA和Rt△BGE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EB,\\ BD=BG,\end{array}\right. $
∴Rt△BDA≌Rt△BGE(HL).
∴AD=GE.
∵AC=AD+DC,
∴AC=AD+CG=AD+GE+CE=2GE+CE.
∵GE≠BE,
∴AC≠2BE+CE.故③错误.
∵AC=CF - AF,
∴AC=2CD - CE.故④正确.
综上，正确的结论为①②④.故选B.
1.B 点拨:如答图,延长CD,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交CD的延长线于点F,连接BF,则BF=BC,过点B作BG⊥CE,交CE的延长线于点G.
∵FB=BC,BD⊥AC,
∴DF=DC,∠DBC=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠FBC.
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABE,
∴∠FBC=∠ABE,
∴∠FBA=∠CBE.
在△FAB和△CEB中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EB,\\ ∠FBA=∠CBE,\\ BF=BC,\end{array}\right. $
∴△FAB≌△CEB(SAS).
∴∠F=∠BCE,AF=CE.
∵BF=BC,
∴∠F=∠BCD.
∴∠BCD=∠BCE,
∴CB平分∠DCE.故①正确.
∵∠FBC+∠F+∠BCD=180°,
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠ABE+∠DCE=180°.故②正确.
在△BDC和△BGC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BDC=∠BGC=90^{\circ },\\ ∠BCD=∠BCG,\\ BC=BC,\end{array}\right. $
∴△BDC≌△BGC(AAS).
∴BD=BG,CD=CG.
在Rt△BDA和Rt△BGE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EB,\\ BD=BG,\end{array}\right. $
∴Rt△BDA≌Rt△BGE(HL).
∴AD=GE.
∵AC=AD+DC,
∴AC=AD+CG=AD+GE+CE=2GE+CE.
∵GE≠BE,
∴AC≠2BE+CE.故③错误.
∵AC=CF - AF,
∴AC=2CD - CE.故④正确.
综上，正确的结论为①②④.故选B.
2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB// CD$,$E$ 是 $BC$ 边的中点,$DE$ 平分$\angle ADC$. 求证：$AE$ 平分$\angle DAB$.
答案：
2.证明:如答图，过点E作EH⊥AB,交AB的延长线于点H,反向延长EH,交DC于点G,过点E作EF⊥AD于点F.
∵AB//CD,EH⊥AB,
∴EG⊥DC,∠GCE=∠HBE.
∵E是BC边的中点，
∴CE=BE.
在△EGC和△EHB中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GCE=∠HBE,\\ CE=BE,\\ ∠CEG=∠BEH,\end{array}\right. $
∴△EGC≌△EHB(ASA).
∴EG=EH.
∵DE平分∠ADC,EF⊥AD,EG⊥CD,
∴EF=EG.
∴EF=EH.
又
∵EF⊥AD,EH⊥AB,
∴AE平分∠DAB.
2.证明:如答图，过点E作EH⊥AB,交AB的延长线于点H,反向延长EH,交DC于点G,过点E作EF⊥AD于点F.
∵AB//CD,EH⊥AB,
∴EG⊥DC,∠GCE=∠HBE.
∵E是BC边的中点，
∴CE=BE.
在△EGC和△EHB中,$\left\{\begin{array}{l} ∠GCE=∠HBE,\\ CE=BE,\\ ∠CEG=∠BEH,\end{array}\right. $
∴△EGC≌△EHB(ASA).
∴EG=EH.
∵DE平分∠ADC,EF⊥AD,EG⊥CD,
∴EF=EG.
∴EF=EH.
又
∵EF⊥AD,EH⊥AB,
∴AE平分∠DAB.
3. 已知 $OM$ 是$\angle AOB$ 的平分线,$P$ 是射线 $OM$ 上一定点,点 $C$,$D$ 分别在射线 $OA$,$OB$上,连接 $PC$,$PD$.
(1)如图①,当 $PC\perp OA$,$PD\perp OB$ 时,$PC$ 与 $PD$ 的数量关系是______.
(2)如图②,点 $C$,$D$ 在射线 $OA$,$OB$ 上滑动,且$\angle AOB = 90^{\circ}$,当 $PC\perp PD$ 时,$PC$ 与 $PD$在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由.
(3)在(2)中,若 $OC + OD = 6$,则四边形 $ODPC$ 的面积 $S$ 是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
(1)如图①,当 $PC\perp OA$,$PD\perp OB$ 时,$PC$ 与 $PD$ 的数量关系是______.
(2)如图②,点 $C$,$D$ 在射线 $OA$,$OB$ 上滑动,且$\angle AOB = 90^{\circ}$,当 $PC\perp PD$ 时,$PC$ 与 $PD$在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由.
(3)在(2)中,若 $OC + OD = 6$,则四边形 $ODPC$ 的面积 $S$ 是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
答案：
3.
(1)PC=PD
(2)解:仍成立,理由如下:
如答图,过点P作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F,则∠PEO=∠PEC=∠PFO=∠AOB=90°,
∴∠EPF=90°.
∵OM平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF.
∵PC⊥PD,
∴∠CPD=∠EPF=90°,
∴∠CPE=∠DPF.
在△PEC和△PFD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠PEC=∠PFD,\\ PE=PF,\\ ∠CPE=∠DPF,\end{array}\right. $
∴△PEC≌△PFD(ASA).
∴PC=PD.
(3)解:为定值，理由如下:
由
(2)知,△PEC≌△PFD,
∴CE=DF,S△PCE=S△PDF.
∴OE+OD+DF=OE+OD+CE=OC+OD=6.
∴OE+OF=6.
∵∠PEO=∠PFO=∠AOB=90°,PE=PF,
∴四边形OFPE是正方形.
∴OE=OF=3.
∴S四边形OCPD=S正方形OFPE=3²=9.
3.
(1)PC=PD
(2)解:仍成立,理由如下:
如答图,过点P作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F,则∠PEO=∠PEC=∠PFO=∠AOB=90°,
∴∠EPF=90°.
∵OM平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF.
∵PC⊥PD,
∴∠CPD=∠EPF=90°,
∴∠CPE=∠DPF.
在△PEC和△PFD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠PEC=∠PFD,\\ PE=PF,\\ ∠CPE=∠DPF,\end{array}\right. $
∴△PEC≌△PFD(ASA).
∴PC=PD.
(3)解:为定值，理由如下:
由
(2)知,△PEC≌△PFD,
∴CE=DF,S△PCE=S△PDF.
∴OE+OD+DF=OE+OD+CE=OC+OD=6.
∴OE+OF=6.
∵∠PEO=∠PFO=∠AOB=90°,PE=PF,
∴四边形OFPE是正方形.
∴OE=OF=3.
∴S四边形OCPD=S正方形OFPE=3²=9.