1. 如图,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = CD$,过点$D作AB的垂线交AB的延长线于点E$。若$AB = 2DE$,则$\angle BAC$的度数为( )
A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$22.5^{\circ}$
D.$15^{\circ}$
A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$22.5^{\circ}$
D.$15^{\circ}$
答案：
C 点拨:如答图,连接AD,延长AC,DE,交于点M.
∵∠ACB=90°,AC=CD,
∴∠DAC=∠ADC=45°.
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM.
∵∠ABC=∠DBE,
∴由三角形内角和定理得∠CAB=∠CDM.
在△ACB和△DCM中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CAB=∠CDM,\\ AC=DC,\\ ∠ACB=∠DCM,\end{array}\right. $
∴△ACB≌△DCM(ASA).
∴AB=DM.
∵AB=2DE,
∴DM=2DE.
∴DE=EM.
∵DE⊥AB,
∴AD=AM.
∴∠BAC=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.
C 点拨:如答图,连接AD,延长AC,DE,交于点M.
∵∠ACB=90°,AC=CD,
∴∠DAC=∠ADC=45°.
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM.
∵∠ABC=∠DBE,
∴由三角形内角和定理得∠CAB=∠CDM.
在△ACB和△DCM中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CAB=∠CDM,\\ AC=DC,\\ ∠ACB=∠DCM,\end{array}\right. $
∴△ACB≌△DCM(ASA).
∴AB=DM.
∵AB=2DE,
∴DM=2DE.
∴DE=EM.
∵DE⊥AB,
∴AD=AM.
∴∠BAC=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.
2. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = BC = 4$,$D是AB$的中点,点$E$,$F分别在AC$,$BC$边上运动(点$E不与点A$,$C$重合),且保持$AE = CF$,连接$DE$,$DF$,$EF$。在此运动过程中,有下列结论：①$\triangle DFE$是等腰直角三角形；②四边形$CEDF$的面积是定值；③$AE + BF = EF$；④$\triangle DFE面积的最小值为2$。其中正确的结论有______。(填序号)
答案：
①②④ 点拨:如答图,连接CD.
∵∠C=90°,AC=BC=4,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=45°,
又
∵D是AB的中点，
∴∠DCB=∠ACD=45°,CD=AD=DB,CD⊥AB.
在△ADE与△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ ∠A=∠FCD=45^{\circ },\\ AD=CD,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CDF(SAS).
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.
∴△DFE是等腰直角三角形.
∴①正确.
由△ADE≌△CDF,得$S_{四边形CEDF}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CDF}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ADE}=S_{\triangle ADC}.$
∵$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×4=4.$
∴$S_{四边形CEDF}=4$,是定值.
∴②正确.
∵AE=CF,AC=BC,
∴AC - AE=BC - CF,即CE=BF.在△CEF中,
∵CE+CF＞EF,
∴AE+BF＞EF.
∴③错误.
∵当DE的长度最小时,△DEF的面积最小,此时DE⊥AC.
∵△ACD的面积为4,即$\frac{1}{2}AC\cdot DE=4$,解得DE=2,
此时$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DE\cdot DF=2$,
∴④正确.
故答案为①②④.
①②④ 点拨:如答图,连接CD.
∵∠C=90°,AC=BC=4,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=45°,
又
∵D是AB的中点，
∴∠DCB=∠ACD=45°,CD=AD=DB,CD⊥AB.
在△ADE与△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ ∠A=∠FCD=45^{\circ },\\ AD=CD,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CDF(SAS).
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.
∴△DFE是等腰直角三角形.
∴①正确.
由△ADE≌△CDF,得$S_{四边形CEDF}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CDF}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ADE}=S_{\triangle ADC}.$
∵$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×4=4.$
∴$S_{四边形CEDF}=4$,是定值.
∴②正确.
∵AE=CF,AC=BC,
∴AC - AE=BC - CF,即CE=BF.在△CEF中,
∵CE+CF＞EF,
∴AE+BF＞EF.
∴③错误.
∵当DE的长度最小时,△DEF的面积最小,此时DE⊥AC.
∵△ACD的面积为4,即$\frac{1}{2}AC\cdot DE=4$,解得DE=2,
此时$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DE\cdot DF=2$,
∴④正确.
故答案为①②④.
3. 已知等腰三角形的三边长分别为$m - 2$,$2m + 1$,$8$,则该等腰三角形的周长为
17.5
。答案：17.5 点拨:分三种情况讨论:若m - 2=2m+1,解得m= - 3,此时三角形的三边长分别为 - 5， - 5,8(不合题意，舍去);若2m+1=8,解得m=3.5,此时三角形的三边长分别为1.5,8,8,周长为17.5;若m - 2=8,解得m=10,此时三角形的三边长分别为8,21,8,此三边不能组成三角形.
综上，该等腰三角形的周长为17.5.
综上，该等腰三角形的周长为17.5.
4. 若$a$,$b是\triangle ABC的两边长且|a - 3| + (b - 4)^2 = 0$。
(1)试求$a$,$b$的值,并求出第三边长$c$的取值范围；
(2)若$\triangle ABC$是等腰三角形,试求该三角形的周长；
(3)若另一等腰三角形$DEF中一个内角的度数为x^{\circ}$,另一个内角的度数为$(2x - 20)^{\circ}$,试求等腰三角形$DEF$各内角的度数。
(1)试求$a$,$b$的值,并求出第三边长$c$的取值范围；
(2)若$\triangle ABC$是等腰三角形,试求该三角形的周长；
(3)若另一等腰三角形$DEF中一个内角的度数为x^{\circ}$,另一个内角的度数为$(2x - 20)^{\circ}$,试求等腰三角形$DEF$各内角的度数。
答案：解:
(1)
∵|a - 3|+(b - 4)²=0,
∴$\left\{\begin{array}{l} a-3=0,\\ b-4=0,\end{array}\right. $
∴$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=4.\end{array}\right. $
∵3,4,c为△ABC的三边长，
∴第三边长c的取值范围是1＜c＜7.
(2)当腰长为3时，三边长分别为3,3,4,周长为10;
当腰长为4时，三边长分别为4,4,3，周长为11.
综上，该三角形的周长为10或11.
(3)
∵等腰三角形DEF中一个内角的度数为x°,另一个内角的度数为(2x - 20)°,
∴第三个内角的度数为180° - x° - (2x - 20)°=(200 - 3x)°.分三种情况讨论:
若x=2x - 20,则x=20,此时等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为20°,20°,140°;
若x=200 - 3x,则x=50,此时等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为50°,50°,80°;
若200 - 3x=2x - 20,则x=44,此时等腰三角形DEF 的三个内角的度数分别为44°,68°,68°.
综上，该等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为20°,20°,140°或50°,50°,80°或44°,68°,68°.
(1)
∵|a - 3|+(b - 4)²=0,
∴$\left\{\begin{array}{l} a-3=0,\\ b-4=0,\end{array}\right. $
∴$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=4.\end{array}\right. $
∵3,4,c为△ABC的三边长，
∴第三边长c的取值范围是1＜c＜7.
(2)当腰长为3时，三边长分别为3,3,4,周长为10;
当腰长为4时，三边长分别为4,4,3，周长为11.
综上，该三角形的周长为10或11.
(3)
∵等腰三角形DEF中一个内角的度数为x°,另一个内角的度数为(2x - 20)°,
∴第三个内角的度数为180° - x° - (2x - 20)°=(200 - 3x)°.分三种情况讨论:
若x=2x - 20,则x=20,此时等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为20°,20°,140°;
若x=200 - 3x,则x=50,此时等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为50°,50°,80°;
若200 - 3x=2x - 20,则x=44,此时等腰三角形DEF 的三个内角的度数分别为44°,68°,68°.
综上，该等腰三角形DEF的三个内角的度数分别为20°,20°,140°或50°,50°,80°或44°,68°,68°.