1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AB= 5\mathrm{cm}$,$BC= 3\mathrm{cm}$,若动点$P从点C$开始,按$C→A→B→C$的路径运动,且速度为每秒$1\mathrm{cm}$,设出发的时间为$t\mathrm{s}$.
(1)若点$P出发6.5\mathrm{s}$,求线段$CP和BP$的长；
(2)问$t$满足什么条件时,$\triangle BCP$为直角三角形？
(1)若点$P出发6.5\mathrm{s}$,求线段$CP和BP$的长；
(2)问$t$满足什么条件时,$\triangle BCP$为直角三角形？
答案：
1. 解：
(1)
∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴由勾股定理，得AC=4cm.
∴点P出发6.5s，点P在线段AB上且此时有AP=BP=2.5cm，
∴P为AB边的中点，如答图①.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CP=$\frac{1}{2}$AB=2.5(cm).
(2)当点P在AC边上运动时，△BCP为直角三角形，此时0＜t≤4.
当点P在AB边上，且CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，如答图②.
∵$\frac{1}{2}$AB·CP=$\frac{1}{2}$AC·CB，即$\frac{1}{2}$×5CP=$\frac{1}{2}$×4×3，
∴CP=$\frac{12}{5}$cm.
在Rt△APC中，由勾股定理，得AC²=AP²+CP²，
即4²=AP²+($\frac{12}{5}$)²，解得AP=$\frac{16}{5}$.
∴AC+AP=4+$\frac{16}{5}$=$\frac{36}{5}$(cm).
∴t=$\frac{36}{5}$÷1=$\frac{36}{5}$(s).
综上，当0＜t≤4或t=$\frac{36}{5}$时，△BCP为直角三角形.
1. 解：
(1)
∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴由勾股定理，得AC=4cm.
∴点P出发6.5s，点P在线段AB上且此时有AP=BP=2.5cm，
∴P为AB边的中点，如答图①.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CP=$\frac{1}{2}$AB=2.5(cm).
(2)当点P在AC边上运动时，△BCP为直角三角形，此时0＜t≤4.
当点P在AB边上，且CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，如答图②.
∵$\frac{1}{2}$AB·CP=$\frac{1}{2}$AC·CB，即$\frac{1}{2}$×5CP=$\frac{1}{2}$×4×3，
∴CP=$\frac{12}{5}$cm.
在Rt△APC中，由勾股定理，得AC²=AP²+CP²，
即4²=AP²+($\frac{12}{5}$)²，解得AP=$\frac{16}{5}$.
∴AC+AP=4+$\frac{16}{5}$=$\frac{36}{5}$(cm).
∴t=$\frac{36}{5}$÷1=$\frac{36}{5}$(s).
综上，当0＜t≤4或t=$\frac{36}{5}$时，△BCP为直角三角形.
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 10\mathrm{cm}$,$BC= 8\mathrm{cm}$,$AC= 6\mathrm{cm}$,动点$P从点B$出发,以$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度沿BC运动至点C$,设运动时间为$t\mathrm{s}$. 当点$P恰好运动到\angle BAC$的平分线上时,求$t$的值.
答案：
2. 解：如答图，过点P作PE⊥AB于点E.
∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠C=90°，即PC⊥AC.
又
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，
∴PE=PC.
∵运动ts时，BP=2tcm，BC=8cm，
∴PC=PE=(8 - 2t)cm.
在Rt△APC和Rt△APE中，$\left\{\begin{array}{l} PA=PA,\\ PC=PE,\end{array}\right.$
∴Rt△APC≌Rt△APE(HL).
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB - AE=10 - 6=4(cm).
在Rt△BPE中，由勾股定理，得4²+(8 - 2t)²=(2t)²，
解得t=$\frac{5}{2}$.
∴当点P恰好运动到∠BAC的平分线上时，t的值为$\frac{5}{2}$.
2. 解：如答图，过点P作PE⊥AB于点E.
∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠C=90°，即PC⊥AC.
又
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，
∴PE=PC.
∵运动ts时，BP=2tcm，BC=8cm，
∴PC=PE=(8 - 2t)cm.
在Rt△APC和Rt△APE中，$\left\{\begin{array}{l} PA=PA,\\ PC=PE,\end{array}\right.$
∴Rt△APC≌Rt△APE(HL).
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB - AE=10 - 6=4(cm).
在Rt△BPE中，由勾股定理，得4²+(8 - 2t)²=(2t)²，
解得t=$\frac{5}{2}$.
∴当点P恰好运动到∠BAC的平分线上时，t的值为$\frac{5}{2}$.