1. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边上的一点,$DC = 5BD = 5$,且$\triangle ADC$的面积为 10,则$\triangle ABC$周长的最小值是( )
A.10
B.12
C.14
D.16
A.10
B.12
C.14
D.16
答案：
D 点拨:如答图①,过点A作AE//BC,作点C关于直线AE的对称点C',交AE于点E,连接BC',交EA于点A',
∴∠BCC'=90°.
∵DC=5BD=5,
∴BD=1,CD=5,
∴BC=6.
∵S_{△ADC}=10,即$\frac{1}{2}$CD·CE=10,
∴5×CE=20,解得CE=4,
∴C'E=4,
∴CC'=8.
要使△ABC的周长最小,则需点A与点A'重合,即点B,A',C'共线,如答图②,由勾股定理,得BC'^2=6^2+8^2=100,从而BC'=10.
∴△ABC的周长的最小值是A'B+A'C+BC=A'B+A'C'+BC=BC'+BC=10+6=16.故选D.
D 点拨:如答图①,过点A作AE//BC,作点C关于直线AE的对称点C',交AE于点E,连接BC',交EA于点A',
∴∠BCC'=90°.
∵DC=5BD=5,
∴BD=1,CD=5,
∴BC=6.
∵S_{△ADC}=10,即$\frac{1}{2}$CD·CE=10,
∴5×CE=20,解得CE=4,
∴C'E=4,
∴CC'=8.
要使△ABC的周长最小,则需点A与点A'重合,即点B,A',C'共线,如答图②,由勾股定理,得BC'^2=6^2+8^2=100,从而BC'=10.
∴△ABC的周长的最小值是A'B+A'C+BC=A'B+A'C'+BC=BC'+BC=10+6=16.故选D.
2. 如图,等腰三角形$ABC的底边BC$长为 2,腰$AC的垂直平分线分别交AB$,$AC边于点M$,$N$.已知$D为BC$边的中点,$P为直线MN$上一动点,若$\triangle PCD$周长的最小值为 5,则$\triangle ABC$的面积为______.
答案：
4 点拨:如答图,连接AP,AD.
∵MN是腰AC的垂直平分线,
∴AP=CP,
∴△PCD的周长为PC+PD+CD=AP+PD+CD.
当A,P,D三点共线时,AP+PD有最小值,为AD的长.
∴AD+CD=5.
∵D为BC边的中点,
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=1,
∴AD=4.
∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC.
∴S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4.
4 点拨:如答图,连接AP,AD.
∵MN是腰AC的垂直平分线,
∴AP=CP,
∴△PCD的周长为PC+PD+CD=AP+PD+CD.
当A,P,D三点共线时,AP+PD有最小值,为AD的长.
∴AD+CD=5.
∵D为BC边的中点,
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=1,
∴AD=4.
∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC.
∴S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4.
3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = BC = 8$,点$M在BC$边上,且$BM = 2$,$N是AC$边上一动点,求$BN + MN$的最小值.
答案：
解:如答图,过点B作BO⊥AC于点O,延长BO到点B',使OB'=OB,连接MB',交AC于点N,连接CB',
∴BN+MN=MB'=MN+NB',此时BN+MN的值最小.
∵BO⊥AC,AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵BO=OB',BB'⊥AC,
∴CB'=CB=8.
∴∠CB'B=∠OBC=45°,
∴∠B'CB=90°,
∴CB'⊥BC.
又
∵MC=BC−BM=8−2=6,
∴在Rt△MCB'中,根据勾股定理可得MB'=$\sqrt{6^2+8^2}$=10,
∴BN+MN的最小值为10.
解:如答图,过点B作BO⊥AC于点O,延长BO到点B',使OB'=OB,连接MB',交AC于点N,连接CB',
∴BN+MN=MB'=MN+NB',此时BN+MN的值最小.
∵BO⊥AC,AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵BO=OB',BB'⊥AC,
∴CB'=CB=8.
∴∠CB'B=∠OBC=45°,
∴∠B'CB=90°,
∴CB'⊥BC.
又
∵MC=BC−BM=8−2=6,
∴在Rt△MCB'中,根据勾股定理可得MB'=$\sqrt{6^2+8^2}$=10,
∴BN+MN的最小值为10.