解：以点$O$为原点，建立平面直角坐标系。
由网格可知：$A(-2,2)$，$C(3,-1)$，$B(0,1)$，$D(0,-2)$。
求直线$AC$的解析式：
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，
将$A(-2,2)$，$C(3,-1)$代入得：
$\begin{cases}-2k + b = 2 \\3k + b = -1\end{cases}$
解得：$k=-\frac{3}{5}$，$b=\frac{4}{5}$，
故直线$AC$：$y=-\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}$。
求点$O$的坐标：
直线$BD$为$y$轴（$x=0$），
代入$AC$的解析式得$y=\frac{4}{5}$，
故$O(0,\frac{4}{5})$。
求$AO$的长：
$AO = \sqrt{(-2 - 0)^2 + \left(2 - \frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{(-2)^2 + \left(\frac{6}{5}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{36}{25}} = \sqrt{\frac{136}{25}} = \frac{\sqrt{29}}{3}$
答案：$\frac{\sqrt{29}}{3}$

解：设点$A$的坐标为$(a,b)$，点$B$的坐标为$(4,0)$。
因为$OA = AB = 2\sqrt{10}$，所以：
$\begin{cases}\sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{10} \\\sqrt{(a - 4)^2 + b^2} = 2\sqrt{10}\end{cases}$
解得$a = 2$，$b = 6$，即$A(2,6)$。
因为点$A$在$y = \frac{k}{x}$上，所以$k = 2×6 = 12$，函数解析式为$y = \frac{12}{x}$。
点$C$在函数$y = \frac{12}{x}$上且$BC\perp OB$，$OB = 4$，所以$C(4,3)$。
设直线$AB$的解析式为$y = mx + n$，将$A(2,6)$，$B(4,0)$代入得：
$\begin{cases}2m + n = 6 \\4m + n = 0\end{cases}$
解得$m = -3$，$n = 12$，即$y = -3x + 12$。
设直线$OC$的解析式为$y = px$，将$C(4,3)$代入得$p = \frac{3}{4}$，即$y = \frac{3}{4}x$。
联立$\begin{cases}y = -3x + 12 \\ y = \frac{3}{4}x\end{cases}$，解得$x = \frac{16}{5}$，$y = \frac{12}{5}$，即$D\left(\frac{16}{5},\frac{12}{5}\right)$。
过点$D$作$DE\perp x$轴于点$E$，过点$A$作$AF\perp x$轴于点$F$，则$AF = 6$，$DE = \frac{12}{5}$。
因为$\triangle AFD\sim\triangle BED$，所以$\frac{AD}{DB} = \frac{AF}{DE} = \frac{6}{\frac{12}{5}} = \frac{3}{2}$。
答案：$\frac{3}{2}$

解：
∵△OAB和△OCD位似，相似比为2:1，位似中心是原点O，
∴点B与点D是对应点，且位似比为2:1。
∵点B的坐标为(6,2)，
∴点D的坐标为(6×$\frac{1}{2}$,2×$\frac{1}{2}$)=(3,1)。
故答案为：(3,1)

解：
∵ $OA:OC = OB:OD = 3$，$\angle AOB = \angle COD$，
∴ $\triangle AOB \sim \triangle COD$，
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OC} = 3$，
∵ $CD = 3\ cm$，
∴ $AB = 3 × CD = 3 × 3 = 9\ cm$，
∵ 外径为 $10\ cm$，
∴ $2x + AB = 10$，
即 $2x + 9 = 10$，
解得 $x = 0.5$。
$0.5$

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$，$AD = BC$，
$\therefore \triangle ABE\sim\triangle DFE$，
$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DF}$，
$\because \frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，$DE = 3$，
$\therefore AE=6$，$AD=AE + DE=9$，
$\because DF = 3.5$，
$\therefore \frac{6}{3}=\frac{AB}{3.5}$，
解得$AB = 7$，
$\therefore □ABCD$的周长为$2×(AB + AD)=2×(7 + 9)=32$。

解：因为 $AD // BC$，所以 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 的高相等（以 $AD$ 和 $BC$ 为底时，高为梯形的高）。
已知 $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{1}{3}$，根据三角形面积公式 $S = \frac{1}{2}ah$，可得 $\frac{\frac{1}{2} · AD · h}{\frac{1}{2} · BC · h} = \frac{AD}{BC} = \frac{1}{3}$，即 $\frac{AD}{BC} = \frac{1}{3}$。
因为 $AD // BC$，所以 $\triangle AOD \sim \triangle COB$（相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
相似三角形面积比等于相似比的平方，所以 $\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$。
$\frac{1}{9}$

解：设位似中心为$P(0,y)$。
因为线段$AB$和$CD$是位似图形，位似中心在$y$轴上，所以直线$AC$与直线$BD$交于点$P$。
点$A(-4,4)$，$C(0,1)$，直线$AC$的解析式：设$y=kx+b$，代入得$\begin{cases}4=-4k+b\\1=0k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4}\\b=1\end{cases}$，即$y=-\dfrac{3}{4}x + 1$。
点$B(0,4)$，$D(2,1)$，直线$BD$的解析式：设$y=mx+n$，代入得$\begin{cases}4=0m+n\\1=2m+n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\dfrac{3}{2}\\n=4\end{cases}$，即$y=-\dfrac{3}{2}x + 4$。
联立$\begin{cases}y=-\dfrac{3}{4}x + 1\\y=-\dfrac{3}{2}x + 4\end{cases}$，解得$x=0$，$y=2$。
故位似中心的坐标为$(0,2)$。
$(0,2)$