18. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = - \frac{1}{2}x + 4$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$在第二象限的图象交于点$A( - 2,m)$，与$x$轴交于点$B$.
(1) 求反比例函数的解析式.
(2) 在$y$轴正半轴上有一动点$E(0,n)$，过点$E$作平行于$x$轴的直线，交反比例函数$y = \frac{k}{x}$在第二象限的图象于点$C$，交直线$y = - \frac{1}{2}x + 4$于点$D$.
① 当$n = 6$时，求线段$CD$的长；
② 当点$E$在点$(0,4)$下方、$x$轴上方时，若$CD \geq OB$，结合函数图象，求$n$的取值范围.
(1) 求反比例函数的解析式.
(2) 在$y$轴正半轴上有一动点$E(0,n)$，过点$E$作平行于$x$轴的直线，交反比例函数$y = \frac{k}{x}$在第二象限的图象于点$C$，交直线$y = - \frac{1}{2}x + 4$于点$D$.
① 当$n = 6$时，求线段$CD$的长；
② 当点$E$在点$(0,4)$下方、$x$轴上方时，若$CD \geq OB$，结合函数图象，求$n$的取值范围.
答案：
18.(1)把A(-2,m)代入y=-$\frac{1}{2}$x+4，得m=1+4=5.
∴A(-2,5).把A(-2,5)代入y=$\frac{k}{x}$，得5=$\frac{k}{-2}$，解得k=-10.
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{10}{x}$
(2)①当n=6时，点E的坐标为(0,6)，如图①.在y=-$\frac{1}{2}$x+4中，令y=6，得6=-$\frac{1}{2}$x+4，解得x=-4.
∴D(-4,6).在y=-$\frac{10}{x}$中，令y=6，得6=-$\frac{10}{x}$，解得x=-$\frac{5}{3}$.
∴C(-$\frac{5}{3}$,6).
∴CD=$\frac{5}{3}$-(-4)=$\frac{7}{3}$
②当CD=OB时，如图②.
由y=-$\frac{1}{2}$x+4，易得B(8,0).
∴OB=8.在y=-$\frac{1}{2}$x+4中，令y=n，得n=-$\frac{1}{2}$x+4，解得x=8-2n.
∴D(8-2n,n).在y=-$\frac{10}{x}$中，令y=n，得n=-$\frac{10}{x}$，解得x=-$\frac{10}{n}$.
∴C(-$\frac{10}{n}$,n).
∴CD=8-2n-(-$\frac{10}{n}$)=8-2n+$\frac{10}{n}$.当CD=OB=8时，8-2n+$\frac{10}{n}$=8，解得n=$\sqrt{5}$或n=-$\sqrt{5}$(不合题意，舍去).由图可知，当CD≥OB时，n的取值范围是0＜n≤$\sqrt{5}$
18.(1)把A(-2,m)代入y=-$\frac{1}{2}$x+4，得m=1+4=5.
∴A(-2,5).把A(-2,5)代入y=$\frac{k}{x}$，得5=$\frac{k}{-2}$，解得k=-10.
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{10}{x}$
(2)①当n=6时，点E的坐标为(0,6)，如图①.在y=-$\frac{1}{2}$x+4中，令y=6，得6=-$\frac{1}{2}$x+4，解得x=-4.
∴D(-4,6).在y=-$\frac{10}{x}$中，令y=6，得6=-$\frac{10}{x}$，解得x=-$\frac{5}{3}$.
∴C(-$\frac{5}{3}$,6).
∴CD=$\frac{5}{3}$-(-4)=$\frac{7}{3}$
②当CD=OB时，如图②.
由y=-$\frac{1}{2}$x+4，易得B(8,0).
∴OB=8.在y=-$\frac{1}{2}$x+4中，令y=n，得n=-$\frac{1}{2}$x+4，解得x=8-2n.
∴D(8-2n,n).在y=-$\frac{10}{x}$中，令y=n，得n=-$\frac{10}{x}$，解得x=-$\frac{10}{n}$.
∴C(-$\frac{10}{n}$,n).
∴CD=8-2n-(-$\frac{10}{n}$)=8-2n+$\frac{10}{n}$.当CD=OB=8时，8-2n+$\frac{10}{n}$=8，解得n=$\sqrt{5}$或n=-$\sqrt{5}$(不合题意，舍去).由图可知，当CD≥OB时，n的取值范围是0＜n≤$\sqrt{5}$
19. (2024·苏州)如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AC = BC$，$\angle ACB = 90°$，$A( - 2,0)$，$C(6,0)$，函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象与$AB$交于点$D(m,4)$，与$BC$交于点$E$.
(1) 求$m$，$k$的值；
(2)$P$为函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象上一动点(点$P$在点$D$，$E$之间运动，不与点$D$，$E$重合)，过点$P$作$PM // AB$，交$y$轴于点$M$，过点$P$作$PN // x$轴，交$BC$于点$N$，连接$MN$，求$\bigtriangleup PMN$面积的最大值，并求出此时点$P$的坐标.
(1) 求$m$，$k$的值；
(2)$P$为函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图象上一动点(点$P$在点$D$，$E$之间运动，不与点$D$，$E$重合)，过点$P$作$PM // AB$，交$y$轴于点$M$，过点$P$作$PN // x$轴，交$BC$于点$N$，连接$MN$，求$\bigtriangleup PMN$面积的最大值，并求出此时点$P$的坐标.
答案：
19.(1)
∵A(-2,0)，C(6,0)，
∴AC=8.又
∵AC=BC，
∴BC=8.
∵∠ACB=90°，
∴B(6,8).设直线AB对应的函数解析式为y=ax+b.将A(-2,0)，B(6,8)代入y=ax+b，得$\begin{cases}-2a+b=0,\\6a+b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
∴直线AB对应的函数解析式为y=x+2.
∴将D(m,4)代入y=x+2，得4=m+2，解得m=2.
∴D(2,4).将D(2,4)代入y=$\frac{k}{x}$，得4=$\frac{k}{2}$，解得k=8
(2)如图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L.
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°.
∵PN//x轴，
∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°.
∵AB//MP，
∴∠MPL=∠BLP=45°.
∴∠QMP=∠QPM=45°.
∴QM=QP.设点P的坐标为(t,$\frac{8}{t}$)，则2＜t＜6，PQ=t，PN=6-t，
∴MQ=PQ=t.
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$PN·MQ=$\frac{1}{2}$(6-t)·t=-$\frac{1}{2}$(t-3)²+$\frac{9}{2}$.
∴当t=3时，S△PMN有最大值$\frac{9}{2}$，此时P(3,$\frac{8}{3}$)
19.(1)
∵A(-2,0)，C(6,0)，
∴AC=8.又
∵AC=BC，
∴BC=8.
∵∠ACB=90°，
∴B(6,8).设直线AB对应的函数解析式为y=ax+b.将A(-2,0)，B(6,8)代入y=ax+b，得$\begin{cases}-2a+b=0,\\6a+b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
∴直线AB对应的函数解析式为y=x+2.
∴将D(m,4)代入y=x+2，得4=m+2，解得m=2.
∴D(2,4).将D(2,4)代入y=$\frac{k}{x}$，得4=$\frac{k}{2}$，解得k=8
(2)如图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L.
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°.
∵PN//x轴，
∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°.
∵AB//MP，
∴∠MPL=∠BLP=45°.
∴∠QMP=∠QPM=45°.
∴QM=QP.设点P的坐标为(t,$\frac{8}{t}$)，则2＜t＜6，PQ=t，PN=6-t，
∴MQ=PQ=t.
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$PN·MQ=$\frac{1}{2}$(6-t)·t=-$\frac{1}{2}$(t-3)²+$\frac{9}{2}$.
∴当t=3时，S△PMN有最大值$\frac{9}{2}$，此时P(3,$\frac{8}{3}$)