1.(教材 P27 习题 27.1 第 2 题变式)下列四组图形中，一定相似的是 (
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
D
)A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
答案：1.D
2. 下列各组线段中，不是成比例线段的为 (
A.$1,\sqrt{2},\sqrt{10},\sqrt{5}$
B.$3,6,2,4$
C.$4,6,5,10$
D.$2,\sqrt{5},\sqrt{15},2\sqrt{3}$
C
)A.$1,\sqrt{2},\sqrt{10},\sqrt{5}$
B.$3,6,2,4$
C.$4,6,5,10$
D.$2,\sqrt{5},\sqrt{15},2\sqrt{3}$
答案：2.C
解析：
A. 将线段从小到大排序：$1,\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10}$，计算$1×\sqrt{10}=\sqrt{10}$，$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$，成比例。
B. 将线段从小到大排序：$2,3,4,6$，计算$2×6=12$，$3×4=12$，成比例。
C. 将线段从小到大排序：$4,5,6,10$，计算$4×10=40$，$5×6=30$，$40\neq30$，不成比例。
D. 将线段从小到大排序：$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，计算$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，成比例。
C
B. 将线段从小到大排序：$2,3,4,6$，计算$2×6=12$，$3×4=12$，成比例。
C. 将线段从小到大排序：$4,5,6,10$，计算$4×10=40$，$5×6=30$，$40\neq30$，不成比例。
D. 将线段从小到大排序：$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，计算$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，成比例。
C
3. 在如图所示的各组图形中，相似的是 (
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
B
)A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
答案：3.B
4.(2025·成都)若$\frac{a}{b}=3$，则$\frac{a+b}{b}$的值为
4
.答案：4.4
解析：
$\because \frac{a}{b}=3$，
$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=3+1=4$.
4
$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=3+1=4$.
4
5. 如图，点$B$在线段$AC$上，且$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$.若$AC = 2$，则$AB$的长为
$\sqrt{5}-1$
.答案：5.$\sqrt{5}-1$
解析：
设$AB = x$，因为点$B$在线段$AC$上，且$AC = 2$，所以$BC=AC - AB=2 - x$。
已知$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{2 - x}{x}=\frac{x}{2}$。
交叉相乘得$x^2=2(2 - x)$，展开得$x^2=4 - 2x$，移项化为标准二次方程形式：$x^2 + 2x - 4=0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c=0$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，在方程$x^2 + 2x - 4=0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-4$，代入求根公式可得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 16}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$。
因为线段长度不能为负，所以$x=-1 + \sqrt{5}=\sqrt{5}-1$，即$AB$的长为$\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
已知$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{2 - x}{x}=\frac{x}{2}$。
交叉相乘得$x^2=2(2 - x)$，展开得$x^2=4 - 2x$，移项化为标准二次方程形式：$x^2 + 2x - 4=0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c=0$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，在方程$x^2 + 2x - 4=0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-4$，代入求根公式可得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 16}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$。
因为线段长度不能为负，所以$x=-1 + \sqrt{5}=\sqrt{5}-1$，即$AB$的长为$\sqrt{5}-1$。
$\sqrt{5}-1$
6. 如图，四边形模板$ABCD$与四边形模板$EFGH$相似，求这两块模板中$\angle \alpha$，$\angle \beta$的度数及$x$，$y$，$z$的值.
答案：6.
∵四边形模板ABCD与四边形模板EFGH相似，
∴$\angle C = \angle \alpha = 90^{\circ}$，$\angle A = \angle E = 80^{\circ}$，$\frac{6}{9} = \frac{7}{x} = \frac{2}{y} = \frac{8}{z}$，解得$x = 10.5$，$y = 3$，$z = 12$．
∴$\beta = 360^{\circ} - 80^{\circ} - 130^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$
∵四边形模板ABCD与四边形模板EFGH相似，
∴$\angle C = \angle \alpha = 90^{\circ}$，$\angle A = \angle E = 80^{\circ}$，$\frac{6}{9} = \frac{7}{x} = \frac{2}{y} = \frac{8}{z}$，解得$x = 10.5$，$y = 3$，$z = 12$．
∴$\beta = 360^{\circ} - 80^{\circ} - 130^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$
7.(教材 P27 习题 27.1 第 1 题变式)在比例尺是$1:500$的图纸上，测得一块矩形土地长$5$厘米，宽$4$厘米，这块土地的实际面积是 (
A.$20$平方米
B.$500$平方米
C.$5000$平方米
D.$500000$平方米
B
)A.$20$平方米
B.$500$平方米
C.$5000$平方米
D.$500000$平方米
答案：7.B
解析：
实际长：$5÷\frac{1}{500}=2500$厘米$=25$米
实际宽：$4÷\frac{1}{500}=2000$厘米$=20$米
实际面积：$25×20=500$平方米
B
实际宽：$4÷\frac{1}{500}=2000$厘米$=20$米
实际面积：$25×20=500$平方米
B
8. 一块矩形绸布$ABCD$的长$AB = a$，宽$AD = 3$，按如图所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗.若裁出的每面彩旗与矩形绸布$ABCD$相似，则$a$的值为 (
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
C
)A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案：8.C
解析：
∵矩形绸布裁成相同的三面矩形彩旗，
∴每面彩旗的宽为$\dfrac{a}{3}$，长为$3$。
∵每面彩旗与矩形绸布相似，
∴$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AD}{\dfrac{AB}{3}}$，即$\dfrac{a}{3}=\dfrac{3}{\dfrac{a}{3}}$。
解得$a=3\sqrt{3}$（负值舍去）。
答案：C