1. (2025·浙江)如图，五边形 $ABCDE$, $A'B'C'D'E'$ 是以坐标原点 $O$ 为位似中心的位似图形，已知点 $A$, $A'$ 的坐标分别为$(2,0)$,$(3,0)$. 若 $DE$ 的长为 $3$, 则 $D'E'$ 的长为 (
A.$\frac{7}{2}$
B.$4$
C.$\frac{9}{2}$
D.$5$
C
)A.$\frac{7}{2}$
B.$4$
C.$\frac{9}{2}$
D.$5$
答案：1. C
解析：
解：因为五边形 $ABCDE$ 与 $A'B'C'D'E'$ 是以原点 $O$ 为位似中心的位似图形，点 $A(2,0)$，$A'(3,0)$，所以位似比为 $\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{3}$。
由于位似图形对应边的比等于位似比，所以 $\frac{DE}{D'E'}=\frac{2}{3}$。
已知 $DE=3$，设 $D'E'=x$，则 $\frac{3}{x}=\frac{2}{3}$，解得 $x=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$
由于位似图形对应边的比等于位似比，所以 $\frac{DE}{D'E'}=\frac{2}{3}$。
已知 $DE=3$，设 $D'E'=x$，则 $\frac{3}{x}=\frac{2}{3}$，解得 $x=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$
2. 如图，在平面直角坐标系中有 $A(10,-3)$, $B(10,0)$ 两点，以点 $(1,0)$ 为位似中心，相似比为 $\frac{1}{3}$，把线段 $AB$ 缩小成线段 $A'B'$，则过点 $A$ 的对应点 $A'$ 的双曲线对应的函数解析式为 (
A.$y = -\frac{2}{x}$
B.$y = -\frac{3}{x}$
C.$y = -\frac{2}{x}$ 或 $y = -\frac{4}{x}$
D.$y = -\frac{3}{x}$ 或 $y = -\frac{4}{x}$
C
)A.$y = -\frac{2}{x}$
B.$y = -\frac{3}{x}$
C.$y = -\frac{2}{x}$ 或 $y = -\frac{4}{x}$
D.$y = -\frac{3}{x}$ 或 $y = -\frac{4}{x}$
答案：2. C
解析：
解：设位似中心为$P(1,0)$。
情况1：点$A'$在射线$PA$上
$\because$相似比为$\frac{1}{3}$，
$\therefore \overrightarrow{PA'}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$。
$\overrightarrow{PA}=(10-1,-3-0)=(9,-3)$，
$\overrightarrow{PA'}=\left(3,-1\right)$，
$\therefore A'(1+3,0-1)=(4,-1)$。
双曲线解析式：$y=\frac{4×(-1)}{x}=-\frac{4}{x}$。
情况2：点$A'$在射线$PA$反向延长线上
$\overrightarrow{PA'}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}=\left(-3,1\right)$，
$\therefore A'(1-3,0+1)=(-2,1)$。
双曲线解析式：$y=\frac{(-2)×1}{x}=-\frac{2}{x}$。
综上，双曲线解析式为$y=-\frac{2}{x}$或$y=-\frac{4}{x}$。
答案：C
情况1：点$A'$在射线$PA$上
$\because$相似比为$\frac{1}{3}$，
$\therefore \overrightarrow{PA'}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$。
$\overrightarrow{PA}=(10-1,-3-0)=(9,-3)$，
$\overrightarrow{PA'}=\left(3,-1\right)$，
$\therefore A'(1+3,0-1)=(4,-1)$。
双曲线解析式：$y=\frac{4×(-1)}{x}=-\frac{4}{x}$。
情况2：点$A'$在射线$PA$反向延长线上
$\overrightarrow{PA'}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}=\left(-3,1\right)$，
$\therefore A'(1-3,0+1)=(-2,1)$。
双曲线解析式：$y=\frac{(-2)×1}{x}=-\frac{2}{x}$。
综上，双曲线解析式为$y=-\frac{2}{x}$或$y=-\frac{4}{x}$。
答案：C
3. (易错题)如图，$□ OABC$ 的顶点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，$AB = 2$，以原点 $O$ 为位似中心，将 $□ OABC$ 按相似比 $\frac{1}{2}$ 缩小，则点 $C$ 的对应点 $C'$ 的坐标为
(1,0)或(-1,0)
.答案：3. (1,0)或(-1,0) [易错分析]忽视位似的另一种位置而致错.
解析：
解：
∵四边形$OABC$是平行四边形，$AB = 2$，
∴$OC=AB=2$。
∵点$C$在$x$轴正半轴上，
∴点$C$的坐标为$(2,0)$。
∵以原点$O$为位似中心，将$□OABC$按相似比$\frac{1}{2}$缩小，
∴点$C$的对应点$C'$的坐标为$(2×\frac{1}{2},0)$或$(2×(-\frac{1}{2}),0)$，即$(1,0)$或$(-1,0)$。
$(1,0)$或$(-1,0)$
∵四边形$OABC$是平行四边形，$AB = 2$，
∴$OC=AB=2$。
∵点$C$在$x$轴正半轴上，
∴点$C$的坐标为$(2,0)$。
∵以原点$O$为位似中心，将$□OABC$按相似比$\frac{1}{2}$缩小，
∴点$C$的对应点$C'$的坐标为$(2×\frac{1}{2},0)$或$(2×(-\frac{1}{2}),0)$，即$(1,0)$或$(-1,0)$。
$(1,0)$或$(-1,0)$
4. 如图所示的图形中的各种变换分别属于平移、轴对称、旋转、位似中的哪种图形变换？
答案：4. ①是旋转或位似变换，②是平移变换，③是轴对称变换，④是位似变换
5. 如图，$\triangle OAB$ 与 $\triangle OCD$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，相似比为 $\frac{1}{3}$，$\angle OCD = 120°$, $CO = CD$. 若点 $B$ 的坐标为$(2,0)$，则点 $C$ 的坐标为 (
A.$\left(3, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$
B.$(3, \sqrt{3})$
C.$\left(3, \frac{3}{2}\right)$
D.$(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$
B
)A.$\left(3, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$
B.$(3, \sqrt{3})$
C.$\left(3, \frac{3}{2}\right)$
D.$(2\sqrt{3}, \sqrt{3})$
答案：5. B
解析：
解：
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{3}$，点B的坐标为$(2,0)$，
∴点D的坐标为$(6,0)$，即$OD=6$。
∵$CO=CD$，$\angle OCD=120°$，
∴△OCD为等腰三角形，$\angle COD=\angle CDO=30°$。
过点C作$CE\perp OD$于点E，
则$OE=\frac{1}{2}OD=3$，
在$Rt\triangle OCE$中，$\tan\angle COD=\frac{CE}{OE}$，
即$\tan30°=\frac{CE}{3}$，$CE=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为$(3,\sqrt{3})$。
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{3}$，点B的坐标为$(2,0)$，
∴点D的坐标为$(6,0)$，即$OD=6$。
∵$CO=CD$，$\angle OCD=120°$，
∴△OCD为等腰三角形，$\angle COD=\angle CDO=30°$。
过点C作$CE\perp OD$于点E，
则$OE=\frac{1}{2}OD=3$，
在$Rt\triangle OCE$中，$\tan\angle COD=\frac{CE}{OE}$，
即$\tan30°=\frac{CE}{3}$，$CE=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为$(3,\sqrt{3})$。