解：
∵以点$O$为位似中心，作四边形$ABCD$的位似图形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$，$\frac{OA}{OA^{\prime}}=\frac{1}{3}$，
∴四边形$ABCD$与四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$的相似比为$\frac{1}{3}$，
∴四边形$ABCD$与四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$的面积比为$(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，
∵四边形$ABCD$的面积是$2$，
∴四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$的面积是$2×9 = 18$。
D

解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，且$\frac{OB}{OE}=\frac{AB}{DE}$。
∵$\frac{OB}{BE}=\frac{2}{3}$，设$OB=2k$，则$BE=3k$，
∴$OE=OB+BE=2k+3k=5k$，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$，即相似比为$\frac{2}{5}$。
∵相似三角形周长比等于相似比，△ABC周长为5，
∴$\frac{5}{△DEF周长}=\frac{2}{5}$，解得△DEF周长$=\frac{25}{2}$。
$\frac{25}{2}$

解：设点$A$的坐标为$(a, \frac{4}{a})$（$a＞0$）。
因为以点$O$为位似中心，把四边形$OBAC$放大得到四边形$OB'A'C'$，相似比为$\frac{2}{3}$，所以位似变换后点$A$的对应点$A'$的坐标为$(\frac{3}{2}a, \frac{3}{2} × \frac{4}{a})$，即$(\frac{3}{2}a, \frac{6}{a})$。
设经过点$A'$的双曲线对应的函数解析式为$y = \frac{k}{x}$，将$A'(\frac{3}{2}a, \frac{6}{a})$代入得：
$\frac{6}{a} = \frac{k}{\frac{3}{2}a}$
解得$k = \frac{3}{2}a × \frac{6}{a} = 9$
所以经过点$A'$的双曲线对应的函数解析式为$y = \frac{9}{x}$。
$y = \frac{9}{x}$