1.(2025·眉山)如图，在$4 × 3$的网格中，每个小正方形的边长均为1，将$\bigtriangleup OAB$以点$O$为位似中心放大后得到$\bigtriangleup OCD$，则$\bigtriangleup OAB$与$\bigtriangleup OCD$的周长之比是 (
A.$2:1$
B.$1:2$
C.$4:1$
D.$1:4$
B
)A.$2:1$
B.$1:2$
C.$4:1$
D.$1:4$
答案：1. B
解析：
以点$O$为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1。
由图可知：$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
计算$\triangle OAB$的边长：
$OA=1$，$AB=1$，$OB=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$，
周长$C_1=OA+AB+OB=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$。
计算$\triangle OCD$的边长：
$OC=2$，$CD=2$，$OD=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$，
周长$C_2=OC+CD+OD=2+2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$。
则周长之比$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}=\frac{1}{2}$。
$\triangle OAB$与$\triangle OCD$的周长之比是$1:2$。
B
由图可知：$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
计算$\triangle OAB$的边长：
$OA=1$，$AB=1$，$OB=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$，
周长$C_1=OA+AB+OB=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$。
计算$\triangle OCD$的边长：
$OC=2$，$CD=2$，$OD=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$，
周长$C_2=OC+CD+OD=2+2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$。
则周长之比$\frac{C_1}{C_2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}=\frac{1}{2}$。
$\triangle OAB$与$\triangle OCD$的周长之比是$1:2$。
B
2. 如图，以点$O$为位似中心，把$\bigtriangleup ABC$放大为原图形的$2$倍得到$\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，下列判断错误的是
(
A.$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$
B.点$C$，$O$，$C^{\prime}$在同一条直线上
C.$AO:AA^{\prime} = 1:2$
D.$AB//A^{\prime}B^{\prime}$
(
C
)A.$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$
B.点$C$，$O$，$C^{\prime}$在同一条直线上
C.$AO:AA^{\prime} = 1:2$
D.$AB//A^{\prime}B^{\prime}$
答案：2. C
解析：
证明：
∵以点$O$为位似中心，把$\triangle ABC$放大为原图形的$2$倍得到$\triangle A'B'C'$，
∴$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，点$C$，$O$，$C'$共线，$AB//A'B'$，$OA':OA = 2:1$，
∴$AO:AA' = AO:(OA' - OA) = 1:(2 - 1) = 1:1$，
故选项C错误。
答案：C
∵以点$O$为位似中心，把$\triangle ABC$放大为原图形的$2$倍得到$\triangle A'B'C'$，
∴$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，点$C$，$O$，$C'$共线，$AB//A'B'$，$OA':OA = 2:1$，
∴$AO:AA' = AO:(OA' - OA) = 1:(2 - 1) = 1:1$，
故选项C错误。
答案：C
3. (2025·海安一模)如图，$O$是$\bigtriangleup ABC$内任意一点，$D$，$E$，$F$分别为$AO$，$BO$，$CO$上的点，且$\bigtriangleup ABC$与$\bigtriangleup DEF$是位似三角形，位似中心为点$O$. 若$AD = \frac{1}{3}AO$，则$\bigtriangleup ABC$与$\bigtriangleup DEF$的相似比为
$\frac{3}{2}$
.答案：3. $\frac{3}{2}$
解析：
证明：
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为点O，
∴$\frac{OD}{OA} = \frac{OE}{OB} = \frac{OF}{OC} = k$（k为相似比倒数）。
∵$AD = \frac{1}{3}AO$，设$AO = 3x$，则$AD = x$，
∴$OD = AO - AD = 3x - x = 2x$。
∴$\frac{OD}{OA} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$，即$k = \frac{2}{3}$。
∴△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{k} = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为点O，
∴$\frac{OD}{OA} = \frac{OE}{OB} = \frac{OF}{OC} = k$（k为相似比倒数）。
∵$AD = \frac{1}{3}AO$，设$AO = 3x$，则$AD = x$，
∴$OD = AO - AD = 3x - x = 2x$。
∴$\frac{OD}{OA} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$，即$k = \frac{2}{3}$。
∴△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{k} = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
4. 如图，以点$A$为位似中心，把$\bigtriangleup ABC$按相似比$3$放大得到$\bigtriangleup ADE$，连接$CD$，若$\bigtriangleup ABC$的面积为$6$，则$\bigtriangleup CDE$的面积为
36
.答案：4. 36
5. (教材P48练习第2题变式)(1)如图①，$\bigtriangleup ABC$与$\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$是位似图形，且相似比是$\frac{1}{2}$，若$AB = 2cm$，则$A^{\prime}B^{\prime} =$_________$cm$.在图中画出位似中心点$O$.
(2)如图②，在五边形$ABCDE$内，画出以点$O$为位似中心，且与五边形$ABCDE$的相似比为$\frac{1}{2}$的图形.
(2)如图②，在五边形$ABCDE$内，画出以点$O$为位似中心，且与五边形$ABCDE$的相似比为$\frac{1}{2}$的图形.
答案：
5. (1)4 如图①，点O即为所求作的位似中心 (2)如图②，五边形A'B'C'D'E'即为所求作的图形
5. (1)4 如图①，点O即为所求作的位似中心 (2)如图②，五边形A'B'C'D'E'即为所求作的图形