1. 如图，$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，$l_{4}$与$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$分别交于$A$，$B$，$C$三点，$l_{5}$与$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$分别交于$D$，$E$，$F$三点.若$AB = 1$，$BC = 2$，$AD = DE=\frac{3}{2}$，则图中长度一定为$3$的线段是 (
A.$EF$
B.$DF$
C.$BE$
D.$FC$
A
)A.$EF$
B.$DF$
C.$BE$
D.$FC$
答案：1.A
解析：
解：因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。已知$AB = 1$，$BC = 2$，$DE=\frac{3}{2}$，则$\frac{1}{2}=\frac{\frac{3}{2}}{EF}$，解得$EF = 3$。
A
A
2. 如图，在$□ ABCD$中，$F$为$BC$的中点，延长$AD$至点$E$，使$DE:AD = 1:3$，连接$EF$交$DC$于点$G$，则$S_{\triangle DEG}:S_{\triangle CFG}$等于 (
A.$2:3$
B.$3:2$
C.$9:4$
D.$4:9$
D
)A.$2:3$
B.$3:2$
C.$9:4$
D.$4:9$
答案：2.D
解析：
证明：设$AD = 3k$，则$DE = k$，$BC = AD = 3k$。
因为$F$为$BC$中点，所以$CF=\frac{3k}{2}$。
由于四边形$ABCD$是平行四边形，$AD// BC$，故$\angle E=\angle GFC$，$\angle EDG=\angle FCG$。
因此$\triangle DEG\sim\triangle CFG$，相似比为$\frac{DE}{CF}=\frac{k}{\frac{3k}{2}}=\frac{2}{3}$。
所以$\frac{S_{\triangle DEG}}{S_{\triangle CFG}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，即$S_{\triangle DEG}:S_{\triangle CFG}=4:9$。
答案：D
因为$F$为$BC$中点，所以$CF=\frac{3k}{2}$。
由于四边形$ABCD$是平行四边形，$AD// BC$，故$\angle E=\angle GFC$，$\angle EDG=\angle FCG$。
因此$\triangle DEG\sim\triangle CFG$，相似比为$\frac{DE}{CF}=\frac{k}{\frac{3k}{2}}=\frac{2}{3}$。
所以$\frac{S_{\triangle DEG}}{S_{\triangle CFG}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，即$S_{\triangle DEG}:S_{\triangle CFG}=4:9$。
答案：D
3. ($2024·$河南)如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$OC$的中点，$EF// AB$，交$BC$于点$F$.若$AB = 4$，则$EF$的长为
1
.答案：3.1
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$为$AC$中点，即$AO=OC$。
∵$E$为$OC$中点，
∴$CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{4}AC$，$AE=AC-CE=\frac{3}{4}AC$，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{3}$。
∵$EF// AB$，
∴$\triangle CEF\sim\triangle CAB$，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$。
∵$AB=4$，
∴$EF=\frac{1}{4}×4=1$。
1
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$为$AC$中点，即$AO=OC$。
∵$E$为$OC$中点，
∴$CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{4}AC$，$AE=AC-CE=\frac{3}{4}AC$，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{3}$。
∵$EF// AB$，
∴$\triangle CEF\sim\triangle CAB$，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$。
∵$AB=4$，
∴$EF=\frac{1}{4}×4=1$。
1
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC$的垂直平分线分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，$CD$与$BE$交于点$F$，$BC = BE$.
(1)求证：$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$；
(2)判断$F$是否为线段$BE$的中点，并说明理由.
(1)求证：$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$；
(2)判断$F$是否为线段$BE$的中点，并说明理由.
答案：4.(1)
∵DE垂直平分AC，
∴CD=AD.
∴∠ECF=∠A.
∵BC=BE，
∴∠CEF=∠ACB.
∴△CFE∽△ABC (2)F为线段BE的中点。理由：由(1)知，△CFE∽△ABC，
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{CE}{AC}$。
∵DE垂直平分AC，
∴$CE=\frac{1}{2}AC$。
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$。
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵BC=BE，
∴$\frac{FE}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴F为线段BE的中点。
∵DE垂直平分AC，
∴CD=AD.
∴∠ECF=∠A.
∵BC=BE，
∴∠CEF=∠ACB.
∴△CFE∽△ABC (2)F为线段BE的中点。理由：由(1)知，△CFE∽△ABC，
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{CE}{AC}$。
∵DE垂直平分AC，
∴$CE=\frac{1}{2}AC$。
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$。
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵BC=BE，
∴$\frac{FE}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴F为线段BE的中点。