5. (新考向·传统文化)($2025·$甘肃)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝古称纸鸢，其制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝.风筝的形状如图所示，其中对角线$AC\perp BD$.已知大、小风筝的对应边之比为$3:1$，小风筝两条对角线的长分别为$30cm$和$35cm$，则大风筝两条对角线长的和为
195
$cm$.答案：5.195
解析：
解：因为大、小风筝形状相同，对应边之比为$3:1$，所以它们的对角线之比也为$3:1$。
小风筝两条对角线长分别为$30cm$和$35cm$，则大风筝两条对角线长分别为$30×3 = 90cm$和$35×3=105cm$。
大风筝两条对角线长的和为$90 + 105=195cm$。
答案：$195$
小风筝两条对角线长分别为$30cm$和$35cm$，则大风筝两条对角线长分别为$30×3 = 90cm$和$35×3=105cm$。
大风筝两条对角线长的和为$90 + 105=195cm$。
答案：$195$
6. 如图，四边形$ABCD$是某学校的一块种植试验基地，其中$\triangle ABC$是水果园，$\triangle ACD$是蔬菜园.已知$AB// CD$，$AB = 27m$，$AC = 18m$，$CD = 12m$.
(1)求证：$\triangle ABC\backsim\triangle CAD$；
(2)若蔬菜园$\triangle ACD$的面积为$80m^{2}$，求水果园$\triangle ABC$的面积.
(1)求证：$\triangle ABC\backsim\triangle CAD$；
(2)若蔬菜园$\triangle ACD$的面积为$80m^{2}$，求水果园$\triangle ABC$的面积.
答案：6.(1)
∵AB = 27m，AC = 18m，CD = 12m，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{CD}=\frac{3}{2}$。
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}$。
∵AB//CD，
∴∠BAC = ∠ACD。
∴△ABC∽△CAD (2)由(1)知，△ABC∽△CAD，
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CAD}}=(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$。
∵△ACD的面积为80m²，
∴△ABC的面积为$80×\frac{9}{4}=180(m²)$，即水果园△ABC的面积为180m²。
∵AB = 27m，AC = 18m，CD = 12m，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{CD}=\frac{3}{2}$。
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}$。
∵AB//CD，
∴∠BAC = ∠ACD。
∴△ABC∽△CAD (2)由(1)知，△ABC∽△CAD，
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CAD}}=(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$。
∵△ACD的面积为80m²，
∴△ABC的面积为$80×\frac{9}{4}=180(m²)$，即水果园△ABC的面积为180m²。
7. ($2025·$内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$的顶点坐标分别是$O(0,0)$，$A(2,1)$，$B(1$，$2)$，以原点$O$为位似中心，在第三象限画$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$位似.若$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$的相似比为$2$，则点$A$的对应点$A'$的坐标为 (
A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$
B
)A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$
答案：7.B
解析：
解：
∵以原点$O$为位似中心，$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$的相似比为$2$，且$\triangle OA'B'$在第三象限，
$A(2,1)$，
∴点$A$的对应点$A'$的坐标为$(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)$。
答案：B
∵以原点$O$为位似中心，$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$的相似比为$2$，且$\triangle OA'B'$在第三象限，
$A(2,1)$，
∴点$A$的对应点$A'$的坐标为$(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)$。
答案：B
8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形$ABCD$与正方形$BEFG$是以原点$O$为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{3}$，点$A$，$B$，$E$在$x$轴上.若正方形$BEFG$的边长为$6$，则点$C$的坐标为
(3,2)
.答案：8.(3,2)
解析：
解：设正方形$ABCD$的边长为$a$。
因为正方形$ABCD$与正方形$BEFG$是以原点$O$为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{3}$，正方形$BEFG$的边长为$6$，所以$\frac{a}{6}=\frac{1}{3}$，解得$a=2$。
设$OA=x$，则$OB=OA+AB=x+a=x+2$。
由位似图形的性质可得$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{x+2}=\frac{1}{3}$，
$3x=x+2$，
$2x=2$，
$x=1$。
所以$OB=OA+AB=1+2=3$，
则点$C$的横坐标为$OB=3$，纵坐标为正方形$ABCD$的边长$2$，
故点$C$的坐标为$(3,2)$。
答案：$(3,2)$
因为正方形$ABCD$与正方形$BEFG$是以原点$O$为位似中心的位似图形，相似比为$\frac{1}{3}$，正方形$BEFG$的边长为$6$，所以$\frac{a}{6}=\frac{1}{3}$，解得$a=2$。
设$OA=x$，则$OB=OA+AB=x+a=x+2$。
由位似图形的性质可得$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{x+2}=\frac{1}{3}$，
$3x=x+2$，
$2x=2$，
$x=1$。
所以$OB=OA+AB=1+2=3$，
则点$C$的横坐标为$OB=3$，纵坐标为正方形$ABCD$的边长$2$，
故点$C$的坐标为$(3,2)$。
答案：$(3,2)$