1.(教材P64 练习第1题变式)(2025·广西)在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AB=7$，$AC=3$，则$\sin B$的值为
(
A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{7}$
(
B
)A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{7}$
答案：1.B
解析：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
$\because AB=7$，$AC=3$，
$\therefore \sin B=\frac{3}{7}$。
答案：B
$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
$\because AB=7$，$AC=3$，
$\therefore \sin B=\frac{3}{7}$。
答案：B
2.(2025·海门期末)如图，$\triangle ABC$的顶点都在正方形网格的格点上，则$\sin A$的值为(
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
A
)A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案：2.A
3.(易错题)如图，在$3×3$的正方形网格中，$A,B$均为格点.以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，$C$是该弧与网格线的一个交点，连接$AB,AC$，则$\sin\angle BAC$的值为
$\frac{2}{3}$
.答案：3.$\frac{2}{3}$ [易错分析]不能正确构造直角三角形而误用正弦.
解析：
解：设每个小正方形边长为1，建立以点A为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系。
由图可知，点A坐标为(0,0)，点B坐标为(3,0)，则AB=3，即圆的半径为3。
设点C坐标为(m,n)，因为C在网格线和圆弧上，所以m²+n²=3²=9，且m,n为整数。
可能的整数解为m=0,n=±3；m=±3,n=0；m=±√(9-n²)（非整数舍去）。结合图形，C点在第二象限网格线上，故C坐标为(0,3)或(-3,0)，根据弧的位置，C为(0,3)不符合，应为(-3,0)错误，重新观察图形，C在第一象限上方网格线，正确坐标为(1,2√2)错误，应为根据网格线，C点在水平和竖直网格线交点，经分析C坐标为(1,2√2)不符合，正确应为(0,3)不对，重新计算：
正确方法：过C作CD⊥AB于D，设C点坐标为(1,2)，则AC=√(1²+2²)=√5≠3，错误；C点在以A为圆心3为半径的圆上，且在网格线交点，故C点坐标为(0,3)时AC=3，此时∠BAC=90°，sin∠BAC=1，不符合；C点坐标为(3,0)是B点，故C点应为( -√(9 - n²),n)，根据图形，C在左上方网格线，n=2时，m²=9 - 4=5，m=√5非整数；n=1时，m²=8，m=2√2非整数；n=3时，m=0，即C(0,3)，此时AB=(3,0),AC=(0,3)，则向量AB=(3,0),向量AC=(0,3)，∠BAC=90°，sin∠BAC=1，错误，说明之前坐标系建立错误。
重新建立坐标系：A为(0,0)，B为(0,3)，则AB=3，C在网格线，设C(2,√5)不对，正确应根据题目图形，A在右下角，B在右上角，AB水平，长度3，C在左上角弧与网格线交点，过C作CE⊥AB延长线于E，设AE=x,CE=y，则x²+y²=9，根据网格，C在左上方，横向距离1，纵向距离2，即x=AB - 横向距离=3 - 1=2，y=2，则AC²=2²+2²=8≠9，错误；x=1,y=2，则AC=√(1+4)=√5≠3；x=2,y=√(9 - 4)=√5，非网格线；x=0,y=3，即C在A正上方，此时sin∠BAC=1，不符合答案，说明之前错误，正确解法：
正确答案：连接BC，AC=AB=3，BC=√[(3 - 1)² + (0 - 2)²]=√(4 + 4)=√8=2√2，过B作BE⊥AC于E，根据面积法，S△ABC=1/2×AB×高=1/2×AC×BE，AB=3，高为2（C点纵坐标），则1/2×3×2=1/2×3×BE，BE=2，在Rt△ABE中，sin∠BAC=BE/AB=2/3。
综上，sin∠BAC=2/3。
答案：$\frac{2}{3}$
由图可知，点A坐标为(0,0)，点B坐标为(3,0)，则AB=3，即圆的半径为3。
设点C坐标为(m,n)，因为C在网格线和圆弧上，所以m²+n²=3²=9，且m,n为整数。
可能的整数解为m=0,n=±3；m=±3,n=0；m=±√(9-n²)（非整数舍去）。结合图形，C点在第二象限网格线上，故C坐标为(0,3)或(-3,0)，根据弧的位置，C为(0,3)不符合，应为(-3,0)错误，重新观察图形，C在第一象限上方网格线，正确坐标为(1,2√2)错误，应为根据网格线，C点在水平和竖直网格线交点，经分析C坐标为(1,2√2)不符合，正确应为(0,3)不对，重新计算：
正确方法：过C作CD⊥AB于D，设C点坐标为(1,2)，则AC=√(1²+2²)=√5≠3，错误；C点在以A为圆心3为半径的圆上，且在网格线交点，故C点坐标为(0,3)时AC=3，此时∠BAC=90°，sin∠BAC=1，不符合；C点坐标为(3,0)是B点，故C点应为( -√(9 - n²),n)，根据图形，C在左上方网格线，n=2时，m²=9 - 4=5，m=√5非整数；n=1时，m²=8，m=2√2非整数；n=3时，m=0，即C(0,3)，此时AB=(3,0),AC=(0,3)，则向量AB=(3,0),向量AC=(0,3)，∠BAC=90°，sin∠BAC=1，错误，说明之前坐标系建立错误。
重新建立坐标系：A为(0,0)，B为(0,3)，则AB=3，C在网格线，设C(2,√5)不对，正确应根据题目图形，A在右下角，B在右上角，AB水平，长度3，C在左上角弧与网格线交点，过C作CE⊥AB延长线于E，设AE=x,CE=y，则x²+y²=9，根据网格，C在左上方，横向距离1，纵向距离2，即x=AB - 横向距离=3 - 1=2，y=2，则AC²=2²+2²=8≠9，错误；x=1,y=2，则AC=√(1+4)=√5≠3；x=2,y=√(9 - 4)=√5，非网格线；x=0,y=3，即C在A正上方，此时sin∠BAC=1，不符合答案，说明之前错误，正确解法：
正确答案：连接BC，AC=AB=3，BC=√[(3 - 1)² + (0 - 2)²]=√(4 + 4)=√8=2√2，过B作BE⊥AC于E，根据面积法，S△ABC=1/2×AB×高=1/2×AC×BE，AB=3，高为2（C点纵坐标），则1/2×3×2=1/2×3×BE，BE=2，在Rt△ABE中，sin∠BAC=BE/AB=2/3。
综上，sin∠BAC=2/3。
答案：$\frac{2}{3}$
4.如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC=10$，$BC=12$.求$\sin B$的值.
答案：4.过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB = AC，BC = 12，
∴$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 12 = 6$.在Rt△ABD中，由勾股定理，得$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
∴$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
∵AB = AC，BC = 12，
∴$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 12 = 6$.在Rt△ABD中，由勾股定理，得$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
∴$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
5.在$\triangle ABC$中，$\angle A,\angle B,\angle C$所对的边分别为$a,b,c$，且满足$a:b:c=5:12:13$.求$\sin A$，$\sin B$的值.
答案：5.由题意，可设a = 5k，b = 12k，c = 13k (k＞0).
∵$a^2 + b^2 = 169k^2$，$c^2 = 169k^2$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
∴△ABC为直角三角形，且∠C = 90°.
∴$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$，$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}$
∵$a^2 + b^2 = 169k^2$，$c^2 = 169k^2$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
∴△ABC为直角三角形，且∠C = 90°.
∴$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$，$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}$
6.(教材P69 习题28.1 第6题变式)如图，$BD\perp AC$于点$D$，$CE\perp AB$于点$E$，$BD$与$CE$相交于点$O$，则下列线段的比不能表示$\sin A$的为(
A.$\frac{BD}{AB}$
B.$\frac{CD}{OC}$
C.$\frac{AE}{AD}$
D.$\frac{BE}{OB}$
C
)A.$\frac{BD}{AB}$
B.$\frac{CD}{OC}$
C.$\frac{AE}{AD}$
D.$\frac{BE}{OB}$
答案：6.C
解析：
证明：
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin A = \frac{BD}{AB}$，选项A正确；
$\because BD\perp AC$，$CE\perp AB$，$\therefore \angle ADB=\angle AEC=90°$，
$\angle A+\angle ABD=90°$，$\angle EOB+\angle ABD=90°$，$\therefore \angle A=\angle EOB$，
同理$\angle A=\angle DOC$，
在$Rt\triangle CDO$中，$\sin \angle DOC = \frac{CD}{OC}$，即$\sin A=\frac{CD}{OC}$，选项B正确；
在$Rt\triangle BEO$中，$\sin \angle EOB = \frac{BE}{OB}$，即$\sin A=\frac{BE}{OB}$，选项D正确；
选项C中$\frac{AE}{AD}$不能表示$\sin A$。
答案：C
在$Rt\triangle ABD$中，$\sin A = \frac{BD}{AB}$，选项A正确；
$\because BD\perp AC$，$CE\perp AB$，$\therefore \angle ADB=\angle AEC=90°$，
$\angle A+\angle ABD=90°$，$\angle EOB+\angle ABD=90°$，$\therefore \angle A=\angle EOB$，
同理$\angle A=\angle DOC$，
在$Rt\triangle CDO$中，$\sin \angle DOC = \frac{CD}{OC}$，即$\sin A=\frac{CD}{OC}$，选项B正确；
在$Rt\triangle BEO$中，$\sin \angle EOB = \frac{BE}{OB}$，即$\sin A=\frac{BE}{OB}$，选项D正确；
选项C中$\frac{AE}{AD}$不能表示$\sin A$。
答案：C