7.(转换法)如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$CD\perp AB$，垂足为$D$.若$AC=\sqrt{5}$，$BC=2$，则$\sin\angle ACD$的值为(
A.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案：7.A
解析：
解：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=\sqrt{5}$，$BC=2$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2}=3$。
因为$CD\perp AB$，所以$\angle ADC=90°$，
则$\angle ACD + \angle A=90°$，又$\angle B + \angle A=90°$，故$\angle ACD=\angle B$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
所以$\sin\angle ACD=\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
答案：A
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2}=3$。
因为$CD\perp AB$，所以$\angle ADC=90°$，
则$\angle ACD + \angle A=90°$，又$\angle B + \angle A=90°$，故$\angle ACD=\angle B$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
所以$\sin\angle ACD=\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
答案：A
8.如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AD\perp AB$，以点$D$为圆心，$AD$长为半径的弧恰好与$BC$相切，切点为$E$.若$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$，则$\sin C$的值是
(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
(
B
)A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
答案：
8.B 解析:如图，连接DB，DE.设AB = m.
∵$\frac{AB}{CD} = \frac{1}{3}$，
∴CD = 3AB = 3m.
∵AD是⊙O的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线.
∵⊙O与BC相切于点E，
∴BC⊥DE，EB = AB = m，∠CBD = ∠ABD.
∵AB//CD，
∴∠ABD = ∠CDB.
∴∠CBD = ∠CDB.
∴CB = CD = 3m.
∴CE = CB - EB = 3m - m = 2m.
∵∠CED = 90°，
∴$DE = \sqrt{CD^2 - CE^2} = \sqrt{(3m)^2 - (2m)^2} = \sqrt{5}m$.
∴$\sin C = \frac{DE}{CD} = \frac{\sqrt{5}m}{3m} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
8.B 解析:如图，连接DB，DE.设AB = m.
∵$\frac{AB}{CD} = \frac{1}{3}$，
∴CD = 3AB = 3m.
∵AD是⊙O的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线.
∵⊙O与BC相切于点E，
∴BC⊥DE，EB = AB = m，∠CBD = ∠ABD.
∵AB//CD，
∴∠ABD = ∠CDB.
∴∠CBD = ∠CDB.
∴CB = CD = 3m.
∴CE = CB - EB = 3m - m = 2m.
∵∠CED = 90°，
∴$DE = \sqrt{CD^2 - CE^2} = \sqrt{(3m)^2 - (2m)^2} = \sqrt{5}m$.
∴$\sin C = \frac{DE}{CD} = \frac{\sqrt{5}m}{3m} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
9.如图，$A,B,C$三点在正方形网格的格点上，则$\sin\angle BAC$的值为
$\frac{\sqrt{26}}{26}$
.答案：9.$\frac{\sqrt{26}}{26}$
10.如图，$\odot O$的半径为5，弦$AB$的长为8，$P$是$AB$延长线上一点，且$BP=2$，则$\sin\angle OPA$的值为
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
.答案：10.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析：
解：过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$，连接$OA$。
因为$AB = 8$，所以$AC=\frac{1}{2}AB = 4$。
在$Rt\triangle OAC$中，$OA = 5$，$AC = 4$，根据勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
因为$BP = 2$，所以$PC=PB + BC=2 + 4=6$。
在$Rt\triangle OCP$中，$OC = 3$，$PC = 6$，根据勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$。
所以$\sin\angle OPA=\frac{OC}{OP}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
因为$AB = 8$，所以$AC=\frac{1}{2}AB = 4$。
在$Rt\triangle OAC$中，$OA = 5$，$AC = 4$，根据勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
因为$BP = 2$，所以$PC=PB + BC=2 + 4=6$。
在$Rt\triangle OCP$中，$OC = 3$，$PC = 6$，根据勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$。
所以$\sin\angle OPA=\frac{OC}{OP}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
11.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A=120°$，$AB=4$，$AC=2$.求$\sin B$的值.
答案：11.过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D.
∵∠BAC = 120°，
∴∠CAD = 60°.
∴∠ACD = 30°.
∴在Rt△ADC中，$AD = \frac{1}{2}AC = 1$.
∴BD = AB + AD = 4 + 1 = 5.在Rt△ADC中，由勾股定理，得$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.在Rt△BCD中，由勾股定理，得$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{7}$.
∴在Rt△BCD中，$\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$
∵∠BAC = 120°，
∴∠CAD = 60°.
∴∠ACD = 30°.
∴在Rt△ADC中，$AD = \frac{1}{2}AC = 1$.
∴BD = AB + AD = 4 + 1 = 5.在Rt△ADC中，由勾股定理，得$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.在Rt△BCD中，由勾股定理，得$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{7}$.
∴在Rt△BCD中，$\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$
12.(新考法·探究题)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题.
$\sin^2 A_1+\sin^2 B_1=$
$\sin^2 A_2+\sin^2 B_2=$
$\sin^2 A_3+\sin^2 B_3=$
(1)观察上述等式，猜想：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，如果$\angle C=90°$，那么$\sin^2 A+\sin^2 B=$
(2)如图④，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别是$a,b,c$，利用三角函数的定义和勾股定理，证明(1)中猜想；
(3)在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B=90°$，且$\sin A=\frac{5}{13}$，求$\sin B$的值.
$\sin^2 A_1+\sin^2 B_1=$
1
;$\sin^2 A_2+\sin^2 B_2=$
1
;$\sin^2 A_3+\sin^2 B_3=$
1
.(1)观察上述等式，猜想：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，如果$\angle C=90°$，那么$\sin^2 A+\sin^2 B=$
1
;(2)如图④，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别是$a,b,c$，利用三角函数的定义和勾股定理，证明(1)中猜想；
(3)在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B=90°$，且$\sin A=\frac{5}{13}$，求$\sin B$的值.
答案：12.1 1 1 (1) 1 (2) 在Rt△ABC中，
∵∠C = 90°，
∴$\sin A = \frac{a}{c}$，$\sin B = \frac{b}{c}$.
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
∵∠C = 90°，
∴$BC^2 + AC^2 = AB^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$.
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$
(3)
∵∠A + ∠B = 90°，
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$.
∵$\sin A = \frac{5}{13}$，
∴$\sin B = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$
∵∠C = 90°，
∴$\sin A = \frac{a}{c}$，$\sin B = \frac{b}{c}$.
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
∵∠C = 90°，
∴$BC^2 + AC^2 = AB^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$.
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$
(3)
∵∠A + ∠B = 90°，
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$.
∵$\sin A = \frac{5}{13}$，
∴$\sin B = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$