7. (2024·大庆)在同一平面直角坐标系中，函数$y = kx - k (k ≠ 0)$与$y = \frac{k}{|x|}$的大致图象可以为 (
C
)答案：7.C
解析：
解：当$k＞0$时，
对于$y = kx - k$，$k＞0$，$-k＜0$，图象过一、三、四象限；
对于$y = \frac{k}{|x|}$，$k＞0$，在第一、二象限，且在各自象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$k＜0$时，
对于$y = kx - k$，$k＜0$，$-k＞0$，图象过一、二、四象限；
对于$y = \frac{k}{|x|}$，$k＜0$，在第三、四象限，且在各自象限内$y$随$x$的增大而增大。
综上，符合条件的图象为选项C。
C
对于$y = kx - k$，$k＞0$，$-k＜0$，图象过一、三、四象限；
对于$y = \frac{k}{|x|}$，$k＞0$，在第一、二象限，且在各自象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$k＜0$时，
对于$y = kx - k$，$k＜0$，$-k＞0$，图象过一、二、四象限；
对于$y = \frac{k}{|x|}$，$k＜0$，在第三、四象限，且在各自象限内$y$随$x$的增大而增大。
综上，符合条件的图象为选项C。
C
8. (整体思想)已知点$P(m, n)$在直线$y = -x + 2$上，也在双曲线$y = - \frac{1}{x}$上，则$m^2 + n^2$的值为
6
.答案：8.6
解析：
因为点$P(m,n)$在直线$y = -x + 2$上，所以$n=-m + 2$，即$m + n=2$。
又因为点$P(m,n)$在双曲线$y=-\frac{1}{x}$上，所以$n=-\frac{1}{m}$，即$mn=-1$。
$m^2 + n^2=(m + n)^2-2mn=2^2-2×(-1)=4 + 2=6$。
6
又因为点$P(m,n)$在双曲线$y=-\frac{1}{x}$上，所以$n=-\frac{1}{m}$，即$mn=-1$。
$m^2 + n^2=(m + n)^2-2mn=2^2-2×(-1)=4 + 2=6$。
6
9. 如图，矩形$ABCD$的边$AD // x$轴，顶点$A$在函数$y = \frac{6}{x} (x ＞ 0)$的图象上，点$B$,$D$在函数$y = \frac{2}{x} (x ＞ 0)$的图象上，则矩形$ABCD$的面积为
$\frac{8}{3}$
.答案：9.$\frac{8}{3}$
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{6}{a})$，其中$a＞0$。
因为$AD// x$轴，且点$D$在函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，所以点$D$的纵坐标与点$A$相同，即$y_D=\frac{6}{a}$。将$y_D=\frac{6}{a}$代入$y = \frac{2}{x}$，可得$\frac{6}{a}=\frac{2}{x_D}$，解得$x_D=\frac{a}{3}$，所以点$D$的坐标为$(\frac{a}{3},\frac{6}{a})$。
因为四边形$ABCD$是矩形，$AD// x$轴，所以$AB// y$轴，点$B$的横坐标与点$A$相同，即$x_B=a$。又因为点$B$在函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，所以将$x_B=a$代入$y = \frac{2}{x}$，可得$y_B=\frac{2}{a}$，所以点$B$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$。
则$AD$的长度为$x_A - x_D=a-\frac{a}{3}=\frac{2a}{3}$，$AB$的长度为$y_A - y_B=\frac{6}{a}-\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$。
矩形$ABCD$的面积为$AD× AB=\frac{2a}{3}×\frac{4}{a}=\frac{8}{3}$。
$\frac{8}{3}$
因为$AD// x$轴，且点$D$在函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，所以点$D$的纵坐标与点$A$相同，即$y_D=\frac{6}{a}$。将$y_D=\frac{6}{a}$代入$y = \frac{2}{x}$，可得$\frac{6}{a}=\frac{2}{x_D}$，解得$x_D=\frac{a}{3}$，所以点$D$的坐标为$(\frac{a}{3},\frac{6}{a})$。
因为四边形$ABCD$是矩形，$AD// x$轴，所以$AB// y$轴，点$B$的横坐标与点$A$相同，即$x_B=a$。又因为点$B$在函数$y = \frac{2}{x}$的图象上，所以将$x_B=a$代入$y = \frac{2}{x}$，可得$y_B=\frac{2}{a}$，所以点$B$的坐标为$(a,\frac{2}{a})$。
则$AD$的长度为$x_A - x_D=a-\frac{a}{3}=\frac{2a}{3}$，$AB$的长度为$y_A - y_B=\frac{6}{a}-\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$。
矩形$ABCD$的面积为$AD× AB=\frac{2a}{3}×\frac{4}{a}=\frac{8}{3}$。
$\frac{8}{3}$
10. 已知$A(m + 2, 2)$,$B(3, \frac{m}{3})$是同一个反比例函数图象上的两个点.
(1) 求$m$的值；
(2) 画出这个反比例函数的图象($O$为坐标原点)；
(3) 求以$A$,$O$,$B$三点为顶点的三角形的面积.
(1) 求$m$的值；
(2) 画出这个反比例函数的图象($O$为坐标原点)；
(3) 求以$A$,$O$,$B$三点为顶点的三角形的面积.
答案：
10.(1)由题意，得$2(m + 2)=3 × \frac{m}{3}$，解得$m = - 4$ (2)由(1)，得$m = - 4$，
∴$A(-2,2)$，$B(3,-\frac{4}{3})$。设反比例函数的解析式为$y=\frac{n}{x}(n \neq 0)$。
∵点$A(-2,2)$在反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象上，
∴$2=\frac{n}{-2}$，解得$n = - 4$。
∴$y = -\frac{4}{x}$。列表如下：
$\begin{array}{c|cccccc}x & ··· & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 & ··· \\y & ··· & 1 & 2 & 4 & -4 & -2 & -1 & ···\end{array}$
建立平面直角坐标系，描点、连线，画出函数图象如图所示
(3)作直线AB，交$y$轴于点C，连接OA，OB。设直线AB对应的函数解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$。
∵点$A(-2,2)$，$B(3,-\frac{4}{3})$在直线$y = kx + b(k \neq 0)$上，
∴$\begin{cases}-2k + b = 2\\3k + b = -\frac{4}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{2}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{cases}$。
∴直线AB对应的函数解析式为$y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$。
令$x = 0$，得$y = \frac{2}{3}$，
∴点C的坐标为$(0,\frac{2}{3})$。
∴以A，O，B三点为顶点的三角形的面积为$S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × |-2|+\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × 3=\frac{5}{3}$
10.(1)由题意，得$2(m + 2)=3 × \frac{m}{3}$，解得$m = - 4$ (2)由(1)，得$m = - 4$，
∴$A(-2,2)$，$B(3,-\frac{4}{3})$。设反比例函数的解析式为$y=\frac{n}{x}(n \neq 0)$。
∵点$A(-2,2)$在反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象上，
∴$2=\frac{n}{-2}$，解得$n = - 4$。
∴$y = -\frac{4}{x}$。列表如下：
$\begin{array}{c|cccccc}x & ··· & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 & ··· \\y & ··· & 1 & 2 & 4 & -4 & -2 & -1 & ···\end{array}$
建立平面直角坐标系，描点、连线，画出函数图象如图所示
(3)作直线AB，交$y$轴于点C，连接OA，OB。设直线AB对应的函数解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$。
∵点$A(-2,2)$，$B(3,-\frac{4}{3})$在直线$y = kx + b(k \neq 0)$上，
∴$\begin{cases}-2k + b = 2\\3k + b = -\frac{4}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{2}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{cases}$。
∴直线AB对应的函数解析式为$y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$。
令$x = 0$，得$y = \frac{2}{3}$，
∴点C的坐标为$(0,\frac{2}{3})$。
∴以A，O，B三点为顶点的三角形的面积为$S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × |-2|+\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × 3=\frac{5}{3}$
11. 如图，点$A(m, 6)$,$B(n, 1)$在某反比例函数的图象上，$AD \perp x$轴于点$D$，$BC \perp x$轴于点$C$，$DC = 5$.
(1) 求$m$,$n$的值，并写出该反比例函数的解析式.
(2) 连接$AB$，在线段$DC$上是否存在一点$E$，使$\triangle ABE$的面积为$5$？若存在，求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1) 求$m$,$n$的值，并写出该反比例函数的解析式.
(2) 连接$AB$，在线段$DC$上是否存在一点$E$，使$\triangle ABE$的面积为$5$？若存在，求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：11.(1)由题意，得$\begin{cases}6m = n\\n - m = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1\\n = 6\end{cases}$。
∴$m$，$n$的值分别为$1$，$6$。
∴$A(1,6)$，$B(6,1)$。设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$。
∵点$A(1,6)$在反比例函数的图象上，
∴$6=\frac{k}{1}$，解得$k = 6$。
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$ (2)存在 由题意，易得$D(1,0)$，$C(6,0)$。在线段DC上取一点E，连接AE，BE。设点E的坐标为$(a,0)$，则$DE = a - 1$，$CE = 6 - a$。
∵$AD \bot x$轴，$BC \bot x$轴，
∴$\angle ADE = \angle BCE = 90^{\circ}$。
∴$S_{\triangle ABE}=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}(BC + AD) · DC-\frac{1}{2}DE · AD-\frac{1}{2}CE · BC=\frac{1}{2} × (1 + 6) × 5-\frac{1}{2}(a - 1) × 6-\frac{1}{2}(6 - a) × 1=\frac{35}{2}-\frac{5}{2}a = 5$，解得$a = 5$。
∴点E的坐标为$(5,0)$。
∵$D(1,0)$，$C(6,0)$，$1＜5＜6$，
∴点$E(5,0)$在线段DC上。
∴在线段DC上存在一点E，使$\triangle ABE$的面积为5，点E的坐标为$(5,0)$
∴$m$，$n$的值分别为$1$，$6$。
∴$A(1,6)$，$B(6,1)$。设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$。
∵点$A(1,6)$在反比例函数的图象上，
∴$6=\frac{k}{1}$，解得$k = 6$。
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$ (2)存在 由题意，易得$D(1,0)$，$C(6,0)$。在线段DC上取一点E，连接AE，BE。设点E的坐标为$(a,0)$，则$DE = a - 1$，$CE = 6 - a$。
∵$AD \bot x$轴，$BC \bot x$轴，
∴$\angle ADE = \angle BCE = 90^{\circ}$。
∴$S_{\triangle ABE}=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}(BC + AD) · DC-\frac{1}{2}DE · AD-\frac{1}{2}CE · BC=\frac{1}{2} × (1 + 6) × 5-\frac{1}{2}(a - 1) × 6-\frac{1}{2}(6 - a) × 1=\frac{35}{2}-\frac{5}{2}a = 5$，解得$a = 5$。
∴点E的坐标为$(5,0)$。
∵$D(1,0)$，$C(6,0)$，$1＜5＜6$，
∴点$E(5,0)$在线段DC上。
∴在线段DC上存在一点E，使$\triangle ABE$的面积为5，点E的坐标为$(5,0)$